III к. - Электродинамика / Лекции / Лекция 4. Следствия из уравнений Максвелла (продолжение)

4.кцияЛ

)ниол(проллксМнийнурииястСл

.ллксМнийтянорнТполя.онитноктромэлИмпульс4.1.

уравнениеУмножим

навекторнослева)3.2(

~ ,

)3.4(уравнениеа

слева векторно на ~

объединения

правой части производных по времениD

получим

B. и сложим их. После

~

~

~

~

∂ ~

~

4πолейзапишим~ åìþòïîдинаканалогииовую.

чтоПоэтомуВ левой частизаймемсуравненияпреобразованием(4.1) выраженияэлектрическдляэлектрическойчасти,огоаìàгнитуюагнитногчаостьп ~

.Учитывая,структуру(4.1)

[D × [ × E]] + [B

× [ × H ]] = −

∂t [D

× B] − c [j × B].

~

~

получим произведениявекторногораскрытияпосле

D = εE,

~

~

εE2

~

~

ициентКоэ

[D × [ × E]] =

2

− (D )E.

(4.2)

Эйнштейна),

ди еренцируравенстваетсятолькпервом1/2

ч того, дстаие всл появился ) 4.2 ( равенства части правой векторслагаемом

части левой в

ïðàâ

части й

ñïð ) 4.2 (

~

ñåéεE

2

~ ~

ектирудной,емправойнакакуючастиE -нибупроизводьднаядекартовыхберется

= DE. Âòîрое слагаемое

Вектор

xi

(x1 = x, x2

= y, x3 = z3).

~

произво знак под внесем

слагаемое ветствующее îò со Лейбница правилу согласно вычтя

D

~

~

∂Ei

∂

∂Dj

∂

аковым индексам~

∂

всехво

îäèîïèлекциэтойхормул

образованийдразумеваетсяðå

суммирование(4.

Вправилоормуле ((4.3D )

èE

i

= Dj

∂xj

=

∂xj

(Dj Ei )

− Ei ∂xj

= ∂xj

(Dj Ei ) − Ei D =

∂xj

(Dj Ei ) − Ei 4πρ.

)4.2(

проекции

~

åíèþíуравсогвидласно

.)3.1(

ï После

равенство)4.3(

декартовуD замененаось принимает4πρ

может быть записано~

в векторно~

∂

εE2

∂

авенство

ðìåîé

)4.4(

[D

× [ × E]] i

=

∂xi (

2

) − ∂xj (Dj Ei ) + Ei 4πρ.

(4.4)

~

~

εE2

~

~

~

Во Аналогичнымвторслагаемом правой части [операторD × [ × E]] =

2

− ( D)E + 4πρE.

(4.5)

аемого слаг

образом преобразуется магнитнаядействучастьет

~

è ~

переносапреобразований,всех

равенсна векòваоры(4.1D). После.E

~

наделенияиправуюв

4π часть получим

4πρE

εE2 + µH 2

1

~

~

1

~

~

~

1

1

∂

роизво2Лоренца,.13).~Проиднойдейсíòåïî òâãðующуюемниируемотравенствонаимпузарльсаяды(зари~ ~ 4.6òîêè,ÿäîâ(4).ïî6)

èíПервоеахектокторомудящиесовслагяобъемуаемоевобъемеп.Интеграл.войПовторомучастиотп

(óенцасилправнанаòîсилыстьЛоренцасилыэтлаЛодасттностизакэтонуплотнНьюëî

~

[D × B]

8π

−

4π ( D E −

4π

( B)H = −(ρE +

c

[j × B]) − 4πc ∂t

~

Pзар. Интеграл от равенства (4.6) приобретает вèä

~

d

1

εE

2

+ µH

2

1

1

dPçàð

Z

[D × B] dV = Z

ïîëÿèíВтороетеграладукцииобознаслагэлекчаютсаемоеплотноявктричеñ(àê4òü+.î7ãî)

−

+

( D)E +

( B)H dV

8π

4π

dt

dt

V 4πc

V

4π

импупомсмыслульсаэлектромагнитногоявляетсполей,ятоакжэтопроизвоимпуполяльс.Импуднойэлектроàãíитного~ ~ льсот ìàмпуплотностьльса.Тагнитного~ ~ поимк ляпукак.льсаВыражоноэлектромагнитноговыражениеаетсподязнакчерез(4.7)~ ~

~

~g:

G

1

1

G~ = Z

[D~

× B~ ] dV,13

~g =

[D~ × B~ ].

(4.8)

V 4πc

4πc

,óсилдает)4.7(равенствачастьПравая

поляэлектромагнитноготороныñîсобъемаíþùóдействую

рассмотримВвыражениипроекциюдлясилыF = ZV

−

εE2 + µH 2

+

1

1

(4.9)этого

8π

4π ( D)E + 4π ( B)H dV.

Дляповерхности.по

~объемныйнадекартовуинтегралось можно преобразовать~ ~

к интегралу~ ~

Fi = Z

∂

εE2

+ µH 2

1

∂

1 ∂

тензорОпределим

Максвел−

ëà ïî îðìóëå+

(Dj Ei ) +

(Bj Hi )

dV

(4.10)

4π ∂xj

4π ∂xj

V

∂xi

8π

натяжений

Тогда подинтегральное выражениеTij =

1

1

(εE

2

+ µH

2

)δij .

4π Ei Dj + HiBj − 2

Мак(4свелла:.11)натяженийтензораотдивергенциивидаетòприобре)4.10(óëåðìîâ

поТеперьповерсхностипомощью обобщенной теоремы аусса Fi

= Z

∂Tij

интеграл(4.12)впреобразуется)4.12(ормулычасти

â ïðàâîédV.

интеграл

∂xj

V

средыатоправдананыеормуовтензорвполнетокойпомещетела,зар.электромагнитногобылаядовàгипотетическнапоминаетзамененльсир)13альна.ствиеэ4кпрстороныВнатнеяжотсулаяжакенийимпу(енияàвекторауждействующихсокнФорму

Fi

= I

Tij nj

dS.

сил,.ира13)мохностнойжнотензор.Вакполя,датьXIXтензораясилынатзаменавекещехяжотпотоквяенийэлектрическинтерпретднумехобъемныханикаМакинтерпретимпусвеллаациясплошнойльсаоесилациюэтихнаиспользумагнитноеповер.силсреды,Использухностные,кетсакполянатвдлякемяжоторойрассматривалисьопределениерасчетдействующиеенийтензорэ(4определимсвелла).7Поэтому4ираМак.(поверСейчас.яжлуормуэлектромагнитноеенийэполядля

Θij

êàê

ормизоднойвперепишется)4.7(Тогда

Θij = −Tij .

(4.14)

d

Z

gi dV = −Z

∂Θij

dV,

d

Z

gi dV = −I Θij nj dS.

винтегралПоверхностный

îðìó

тензорапотокомòüсчитаæíîîì)4.15(õ

(4.15)

dt

V

V ∂xj

dt

V

S

поверхностижителеня.Поэтому(внешняятензоркполонаправленвнутринаружуповерхн,тостиинтегралуменьшаетс

Θij

Тогчерездаимпуповерльсхностьэлектромагнитного.Еслипоток.нормаль)

онуинтегралызакобъемныеихдимкОбъединяя.îëÿроизвольным,

Θij

объемормеимпуеренциальнойльсасчитаятензоромподполяднимпотоквинтеграломдия4.15электромагнитногоормуназываетслы(сохранениявпервойимпучастилься

∂gi

∂Θij

полясоФохраняющейсмусолахраняющаяс(4.16) величиныэтоявеличинастанäартнаяивергенцииявляетсормаяотвектореезакпотокона.Поîì +асоравнахранениянупотоклюв.Тýòîìу= 0. соолькизикхраняющейсое:вслучаесуммаяимпупроизвовеличиныльсяднойэлектромагнитноготензорповремени.(4.16)от

∂t

∂xj