III к. - Электродинамика / Лекции / Лекция 7. Проводники в электрическом поле

7.

скктричэлникиоПро

ïîë

полеоек

покпор,техдо

эллектр

оеческ

íå

Поэтому.ноль

статикэлектр

днпрововнутриаккцияакЛТ

тодвижны,поядызар

ящатьсперембудутонинияяжнапршнеговнотсутствие

хПовернулю.равноаикд

прость

äíèê

éîнциальнåэквипотяявляетс

Вхностью.

аничныхгледствие

водникполепрхностиповервблизиусловий

оравекяющаяâëасост

внутринапряженностойэлектрическ

нпровоàвнаповернухностилю,Eτ

прово.дникНормальная.Поверхностнуюсост= 0 авляющобратитсасательнаяплотностьвекторазарядовиндукцииможноравнанайтиповерхностнойормулам плотности зарядов

Пу7.1сть. имеетсТеоремая нескольквзаимностизаряженныхринапроводников4πσ = Dn

= − ε ∂ϕ

.

(7.1)

∂n

ппроводникиОкружим

верхностью

qi , èñ. 7.1 . Их пов рхностиыполнениянахдятсполучаемуравнениядпотенциалами ϕi.

потенциалов

S′

ковпроводнстямиповерхнмеждуямудящВследствиенахнольобъему,кменим

S′ ормулу рина (6.2). Положим в ормуле рина

ψ = ϕ′ .

дляЛапласа

ϕ, ϕ′ , левая часть ормулы рина обращается в

.

частиойâпраИз

∂ϕ′

′

∂ϕ

поверИнтегралхностипо

I ϕ

= I ϕ

dS.

интеграл(7.по2)изарядовповерхностямпоеграловíòисуммунаразбиваетсяповерхностизамкнутой

S

∂n

S

∂n

S′.

остьповерхЕсли

Z

ϕ

∂ϕ′

dS + Z

′ ϕ

∂ϕ′

dS dS =

Z

ϕ′

∂ϕ

dS + Z

′ ϕ′

∂ϕ

dS.

(7.3)

∂n

XSI

S

S

∂n

XSI S

∂n

S

∂n

зарлучимнормалиядадиэлектрическïî потенциалаяповерпроницаемость′ ухностистремитьяненпровомобескжсто днаетиконечность,ибытьасогажласновывоесентовсеминтегрормузапространстве,знлелк(7ïîè.1)теграланейпропорционаленобратто.Интегралтснееявмоольжнозарот.ядупроизНасократитьпопровоерднойхностидник.Впотенциаларезу.кТаждогоаклькатеак

S

X

′

X

′

).4àåò7выражле(орму).47жимПотенциальныев(.2.авенство7Поло

оремуи емквзаимностиостные кринаоэϕi q.i =ициентыϕiqi.

(7.4)

SI

SI

q′

= q +

q δ

.

.Ò

получимТогдавеличину.небольшуюзарядукаждомукдобавим.

i

i

k

ik

XSI

ϕi qi + ϕk

qk = XSI

ϕi′ qi,

(7.5)

N

N

S`

Q1,j1

7.1èñ.

S1

23

Q2,j2

Q3,j3

S2

S3

èëè

′

− ϕ )q

i

ициентыКоэ

ϕk = XSI

(ϕi

i

= Xi Ski qii,

(7.6)

qk

)7.6обратную(

Ski

позависимостьюсвоиминдек.самВычисляя.Формулапровоициентдникамиов.связаныОнисимметричнылинейнойчтоназываютспотенциалыяпотенциальнымизарядысистемыкоэпоказываетк,

Ski

получаемматрицу,

ициентыКоэ

qk = Xi

Cki ϕi,

(7.7)

.плотностиотЭнергия7.3

Cki

интегралкакпосчитанабытьможетсуществуеннымиициентетамипровополе.дниками,кгоэдеяжов,зардникемкостнымипровополя,всемуясоздаваемогопространствупоназываютсогосистемыэлектрическэнергииЭнергия

1

Z

εE

2

dV. è

вычисленийнесложныхпосле

преобразу(7.ем8)

объемныйВыразим напринтеграляженностькповерэлектрическхностному:ого поляW÷åð= åç

потенциал

8π

V

1

εE ϕ dV = −

1

Z

(Dϕ) dV +

1

Z

ϕ D dV = −

1

I

ϕD~n dS,

прухПовердитизведенияхностныйнабесконечносWинтеграл= − òü Z

разобьетоин, ~ òсегя наалсумпоìóбескинтеграловонечной~

повепоðâåõностихностобратитсямпровоповр ~ ядникнольов.åð Есливследствиеобласть интегрированияубывания(7.9)

8π

V

8π

V

8π

V

8π

S

~

3

эквипотенциальная

хность, то ϕ можно вынести

за знак интеграла.ϕD 1/rИнтеграл.Таккакотповеðхность проводник

D~n равен

проводника:зарядуминусом

вследствиеминуэлектрическпоявляетсяЗнак

I ÷òîD~n dS = −4π I

σ dS = −4πqi.

(7.10)

òîãî,

S

S

областиэнергияпо

проводникгополяоввне

Впроворезудникльатеах.1интегрированиина7.исПри.ся.нормальзаписываетсбудетяквнутреннейакэнергияпривзаимоповнешнейотношениюдействиякпровокзардникупровоядов,дникнормалинахам,дищих

Dn = σ

1

ϕiqi. емкостные коэ ициенты

(7.11)

Энергия поля может быть выражена через потенциалW = 2 Xi

илиныеü

1

=

1

Sij

ϕiϕj .

нетпровоСог7.нек4ласэлектричесого.оторомдникСилы,(а4.13объеме,Электрическ)изменениедействуюшиеполя,можтоетаясуммартензорбытьчастьпосчитнаттензораогонаяжимпуаноWïðî= 2 Xi Cij qi qj

2 Xi

оввиддействующей.Такаквнутринаполя,поверпровозаключенныххность(7дник.12)полесилы,свеллаэлектромагнитногоомМакимеетточек).11åíèé4èàðормуповернатлыяжхностной(òэлектрическматериальныхвизтензосистемыенийплотносдникиоâенийснатльсапомощьюравеняж

1

1

εE

2

δij ).

ПоэтомуНа поверхностиповерхностнаяпроводниксиланапртакжяжееíаправносьTýij = 4π (εEiEj −

2

дника.

яВеличинанаправленаплотностиперпендикуповерлярнохностнойповерсилыхностиравнапрово(7.13)ë.нормалиогопоческпоðèенаектë

1

2

энергииповсейэлектрическповерхности:огомèåплотностиравнаинтегрированностьпровоповердникхностнойа,получаетссилыяòнаТ.е.всючисленноповерхноспло

fn = Tnn = 8π εEn.

действующая(7.14)Сила,поля.

F~ = I

εE2

~n dS

(7.15)

S

8π

равенргииэнльнойтенциеренциалди

ЛежандрапреобразованиеДелаем

dW = Xi

ϕi dqi − Fx dx.

dW = d(Xi

ϕiqi) − Xi

qi ϕi − Fx dx

i

i

W

′

=

W − Xi

1

потенциаϕiqi = −2 Xi ϕi qi = −W

постоянныхпривычисляемойсилы,длярезультатеВ

находимахë

Fx

= −

∂W

′

=

∂W

=

1

∂Sij

ϕi ϕj .

∂x

2

∂x

ϕ

ϕ

Xij ∂x