III к. - Электродинамика / Лекции / Лекция 3. Следствия из уравнений Максвелла

3.кцияЛ

ллксМнийнурииястСл

лынциПот3.1.

ïîëÿ

ðå

å

введениескаютдопу

какТак.ов

Уравн

вакуумевла

вМаксвеллауравнения

оширокийболеенитнохватываютктромэлсредевМаксвеллауравнения

класс

рассмотримтоач,äçà

уравненийяëпотенциалыд

среде.изотропнойоднороднойвсвеллаМак

~

=

4πρ,

1)

D

~

1

~

∂B

× E

=

−

,

2

c

∂t

~

=

0,

3

B

4π

~

~

~

1 ∂D

4

× H

=

c j + c ∂t .

какТак

~

~

~

~

) 5(3.

D = εE,

B = µH ..

~

, то вектор ~ может быть записан как ротор некоторого вектора

~

потенциаломB =магнитного0

ïîëÿ,B

A, называемого векторным

E = − ϕ −

8).(3

вектора выражение это Подставим

~

~

6) . (3

B = [ × A].

~

B в уравнение (3.2). Получим

1

~

ðàâå~

ò

òîëþ,íó

некТакоторогокакроторскаляравектора,

взаключенного

скобки× E + c ∂t

= 0.

можетон

áûòü

представлен

êàê

градиент(3.7)

ϕ.

Отсюда

~

~

1 ∂A

ИсторическиПотенциалысложилось,пределяютсчтояпереднеоднозназнакомчноградиент.Значениеастоитвектораизменилосьмину.c ∂t

ункциильнойпроизвадиентг

~

измне

орувеккеслится

~

B

A прибави

.

этомприЧтобы

å

çíà÷åíèпотенциаловвектора~

òü отнянужно

про зводную по времени от этой f ункции, деленную íà

E, îò ϕ

Этодн

значенияж

c.

.Ò

наборадва.

~

~′

′

(A, ϕ)

è (A , ϕ ) äàþò

~

~

B

E, åñëè

1 ∂ϕ

~′

~

′

Присвойствозаписипотенциаловвектор называ тся рA è=нтнойA + f,èí ϕðè=нтносϕ −

òüþ. .

(3.9)

c ∂t

Еслиждественно.

~ è ~

)3.3()3.2потенциалы,(уравнения)3.8(

выполняютс

днороднойчB E åизотррезпîпнойтенциалысредесогвекторыласно(3.6)

)3.1(

видпринимают)3.4(

~

~

ÿ уравненито

D

H выразить через

1

~

4πρ

ϕ +

∂ A

=

−

c

∂t

ε

0)

εµ

∂

2

~

4πµ

εµ ∂ϕ

A

~

îñ, íòазыитьваемыеесливо, калибровкамияпотенñïîльзоватьс~ ãðàä

1.1æèòü(3стьюватьвыполненияналоîЕслиинвариантнпотребловтной.циаиен

унасловияпотенциУравнения(калибры(д3î.10вкполнительные)а Ку(3ëîíà).11 можноусловияупрA − c

∂t2

=

−

c

~j + A + c ∂t .

~

электростатикевпотенциаласкалярного

(3.12)

то уравнение (3.10) имеет такой же вид, как уравнениеA =äëÿ0,

ϕ =9−4π

ρ

.

(3.13)

ε

широкДругой

являетскалибровкойприменяемой

ðîâêèáêàë

Лоренца

~

εµ ∂ϕ

поПрихожвыполнениией орме калибровки Лоренца уравненияA äëÿ+

скалярного= 0.

в14)я(3.записываютспотенциаловвекторногои

c

∂t

15)

ϕ

εµ ∂2ϕ

=

−

4πρ

c2

∂t2

ε

(3.

εµ

∂

2

~

4π

~

A

.куумадостзаписаныаточнооператортолькдляднороДаламбераполоднойжитьизотропнойдиэлектрическуюсреды16)

âàíèвакуума,для.ОлимåäåаламберадляÄëûорму.Опрназываютсчастиравнымиполучитьяуравнениямиединицеэтой))16ë3.îðìó,(15проницаемости.3УравнениямагнитнуюЧтобыиз(

~

A − c2

∂t2

=

− c µj

образом,

1

∂2

Тогда в вакууме уравнения (3.15) è (3.16) принимают2 =

âèä−

.

(3.17)

c2 ∂t2

2

4πρ

4π

потенциаловормуэлектромагнитного(потенциалов~ ûèå 3.6ок)азываетс(3.8) позволяетдаютболееполя,индукциюдобным,поеслиизвестнымзаданымагнитногочемрешениеисточники(3.18)ам

ñïîëнапрпомощьюВУравненияейя:яжобласти,найтизенностьядысами(г3электрическде.òîêè15потсутствуют, (ляй3..Ìàê.16ЕслиЧа)илисвеллатоогопотенциалы(решение3полей.источники18. ) позволяют.Тзадаакимизвестнчполяпомощьюнайти(топотенциалпримененнû, 2

~

ϕ = −

ε

A = − c µj.

нестктромэлоторыхиирияминаэнрешеслева)3.2ями,(потокеия,авнениðóуравненнжим.2.Умно3волновыми

~

волныановятс.я

) 3.18 ( èëè ) 3.16 ( электромагнитные , 3.15 являютс( поля уравненияслучае о ), нитно ационарном

ρ = 0, j = 0

ìиспользуполуччастилевой

~

, уравнение (3.4) íà ~

Вдруга.издругуравненияполученныевычтем

H

E

частиправойВ

~

~

~

~

~

~

(3.19)

ем уравненияHсвязи[ Ч(E3.5] −) иEвнесем[ Ч H]векторы= [E Ч H ].

уравнениюкдимприх

~

è ~

результатеВпроизводной.знакпод

E

H

4π

1 ∂

εE2

+ µH 2

.

сса(3ажноу.20)мовременитеоремычастипроизвоспомощьюдную

вынестиобъемныйПротнтегрируизинтеграл-подемзнаклевуюазамениминтегралаправуюна.Уравнениеинтегралчастьуравнен[E Ч H] = − c ρ~vE − c ∂t

2

~

~

поприобретповер(èÿ 3хност.~àåò20) âèïî.è äобъемуВправой.В левойчасти

IS [E

× H ]~n dS =

4π

ZV

ρ~vE dV

d

εE2 + µH 2

dV

− c

− dt ZV

2c

кИспользувидуя выражение для силы~

Лоренца~

2.13(

),

первый~ интегðàë â правой части ормулы (3.21) преобразу(3.21)ем

разделимг

ZV ρ~vE~ dV = ZV f~v~

dV =

d

Wзарядов,

(3.22)

dt

Wзарядовна кин тическая энергия зарядов. Второй интеграл перенесем налево. Умножим уравнение на c и

4π.

равенствополучаематезульåðÂ

.)3.23бескормуонлечнось(наВ

c

d

ZV

εE2 + µH 2

d

.

IS 4π [E × H]~n dS + dt

8π

dV = −dt W

распроЕслисистетраìàíèмзаринтегрирован~ ядов~ ограничена,вèå

ух(3о.дит23)интегрированияповерзарядовхностьäàТогство.пространтосе

~ è

~

получаематерезульВнулю.кястремитсповерхностипо

H

убывают на бесконечности как 1/r

2,

интеграл

E

d

d

ZV

εE2

µH 2

dV.

(3.24)

Wзарядов

= −

+

dt

dt

8π

8π

уменьшениясчетзаидетзарядовэнергиикинетическойувеличениекакТак

ормулычастиправойвтеграла

поляогоíэлектромагнитэнергиюдаетинтегралэтотчтосчитать,можното),3.24(

WEL .

Подинтегральное

энергии плотность выражение

поляэлектромагнитного

wEL

WEL = ZV

εE2

µH

2

dV,

εE2

µH

2

8π

+ 8π

wEL = 8π

+ 8π .

òèìóбъетносоплодаютаниченномуполяîãðîитногопаниагниэлектромСправаполейСлагвидеВаемыеотсутствиеподельностиплотностизарядов.энергииипринтегриров

можетогобытьимагнитногозаписана(3.25))3.21гиилаэлектрическ(ормуэне

â

стоит

dWEL

= −

c

IS [E × H ]~n dS.

âåêò

dt

4π

)3.26(ормуле

поток

îðà

c

~

~

(3.26)

~s =

~

~

потокЕсли

4π

[E × H ].

(3.27)

ут чку электромагн~s п ложительный,тной энергиитоэнергизобъемаяэлектромагнит.Вектор ого поля убывает. Следова ельно, вектор ~s характеризует

ýëíòåãктвектораломагнитнойпо замкнутойПойнтингэнергииаповер.Формумохностижнолазаписать(3нужно.26) выражпреобразоватьдиаетзакеренциальназываесохраненияой~s тегралс векторомормеэлектромагнитнойпо.объемуДляпотокэтого.Врезуэлектромагнитнспомощьюэнергиильатеполучим.теоремыЗак йн соэнех анениягии,сса

нтегрированияобъемхраненияонкаксоàêçò

áûòü ZV

∂wEL

+ ~s) dV = 0.

еренциальный(3.28)ди

может

( ∂t

вытекает)3.28(изтопроизвольным,ðàíâûá

∂wEL

уравнениетвеличиныкакоторыйЕсликакчастьимеетрассматриваемойдивергеестидетандартнуюнциинаработуеепотокобластиормуперемещениюравназакприсутствуютонанусолюхр. àíåíзарзарядовяды,сумма.Втоприсутствииэнергиячастнойэлектромагнитнпроизвозарядовднойвместотия:+ ~s = 0, îгоплотностиуравненияполяñî(3храняе.29) имеем(3тсмой.29)я,

∂t

∂wEL

электромагнитного~

ïîëÿ.

(3.30)

èåðãèэнубыльхарактеризуетчастиправойНаличие

~

∂t

+ ~s =

−jE.