III к. - Электродинамика / Лекции / Лекция 12. Запаздывающие потенциалы

12.кцияЛ

лынципотющиыпЗ

12.1.

амбДа

волны

оттолькозависитпотенциалкогдаволн,

äåâèâèååíрешдопускают)10.1(

rУравнения.Вэтомt С ерическиеëуча уравнения Даламбера в с ерическихс ерическихоординатах имеют вид

1

∂

∂ϕ

1 ∂2ϕ

подстановкипомощьюС

r2

∂r

−

= 0.

(12.1)

r2 ∂r

c2

∂t2

ϕ = ψ/r

уравнениюкприводится)12.1(уравнение

∂2ψ

1 ∂2ψ

)10.4(решениюаналогичноготоркрешение

с замен− îé

= 0,

(12.2)

∂r2

c2

∂t2

решенияскаютдопувîпотенциал

x íà r.

дляДаламберауравнениячтоследует,Отсюда

1

r

1

r

1

r

1

r

ерическую.Еевамплитуэтихрешенияхволнудаубывает, приоõïисыдящуюобратновспрâает наерическуючалооонîпорци~ àðльнодинатволну,~

Ñóполох ердящуюè÷åñê~ àÿîò

волначалараспростркоордин

няетс.Второе(12я.со3)

светаемоесñПервоеклагоростьюаемоеслаг

ϕ = r ϕ1

(t − c ) + r

ϕ2

(t + c ),

A = r A1(t − c ) + r A2

(t + c ).

НайдемнулюДля.Тогсихдаерическдлянапрасяжойхенностидящейсволныэлектрическяакжволные,к.акогодлямагнитногоплоскойволны,полеймополностьюжноr.

потенциалоравным.потенциалрныйвекторнымÿопределятсжитьскал

~

1 ~

1 ∂A

~

˙

E = −

c

∂t

= −

cr

A1

,

4)

~

~

~

~˙

[~n × A1]

[~n × A]

пооизводнуюозначвектпследовательно,Точк

B

=

[ × A] = −

−

.

5(12.

r2

cr

кпервымибровк

гаемымсîрвпадающийпотенциала(12.5) мосжнонаправлениемпривопренебрдит.кВокторчьтогональностираспр.Сt − r/c ~nòîé=страненияжстепеньюr - это волныеди точностиичный.Набольшомвектор,набольшихунапдаленииавленныйрассотонаянияхчалапорадиуоткоорцентрадинсуи,т

~

резуВ.

векторыате

~

è

~

остраненияðраспнаправлениюперпендикулярныволне

волны.˙

Связь~n

плоской ââ

A1

между ними акаяB æåEкакак

~

~

Даламбера

(12.6)

Нео12.дноро2. Функциядные уравненияринаДаламберадля неоднородногоB = [~n ×уравненияE].

интеграла,

ïîëÿ,

помощью2 ~

4π

решеныбытьмогутормально

ñ

èè

ринаункцияэтогоДля

(12.7)

êöóí

~ ðèíà.2

A = − c

j,

ϕ = −4πρ,

уравнениюудовлетворять

~′

′

) должна

G(~r, r

t, t

ункциявремядинатыКо

2

~′

′

).

(12.8)

G = −4πδ(~r − r

)δ(t − t

~′ ′

..1области,решениек12ятсия.тонайдена,относядром:см.

времяимизаписываетсполя.КоорядинатыввидеисточникДаламберазанимаемойуравнений

~r, t вотноскоторомятся

ункцияточкЕслинаблюринадениявляетсринаr t

∞

1

∞

ZV ~j(r~′, t′)G(~r, r~′, t, t′) dV ′.

ϕ(~r, t) = Z−∞

dt′

ZV ρ(r~′, t′)G(~r, r~′, t, t′) dV ′,

A~36(~r, t) =

Z−∞

dt′

(12.9)

c

.121èñ.

12.2.èñ

дДействительно,согласнозаряда(12применения.8плотность)оператораток.ундаментТогДаламбераакприменениепопеременнымоператораДаламбераклевым~r, t к почастдинтегральнымямравенстввыраж(12.9)ениямдаст

íàõïëîВдящегосностьэлектросттокя. òикчквызваннаяееδ-с ункцииядаоорчествединатДиракамиа, которыеальнойуничтоункцииж интегралы,ринапринималсдаваяя опятьпотенциалжплотностьточечногозарзарядаяда,

а,волерическаяс

мгновенным.Длявозникновениемпеременного~′

являетсамиринаункциейоординатсундаментвальнойточкполяисчезновением

r

~′

времени

момент

r

t′ точечíîãî çàð

видимеетринаункцияЭт.

′

1

′

~′

|

|~r − r

волерическаясЕсли

G(~r, r~ , t, t

) =

δ t − t

−

.

(12.10)

|~r − r~′|

c

выбратьизлучаетсвместоямомент′

времени

временимоментпозднийболеев

Поэтому,интегрированиявточкнаблюдения′

нуляототличнаринаункция

увекторногокциидовлетвоановки.Еслиотраяалярногорина,дстскПослеюейункцивычисления

~

t

′

ринапотенциаловðасяет(12õ.10принципудящейс)′ .(12ÿ .ñ9причинности)ерическункцияойволныпоэтомуринасхдящуюс(12времениотбрасываетс.10) я,называетстополучаемполучимя.язапаздывающейопережормулыающуюдля

t = t

+ ~r − r |/c

ϕ(~r, t) = V

|~r − r~′| dV

′

′

,

A(~r, t) = c V

|~r − r~′|

dV

′

′

,

~′

′

)

′

1

~′

′

)

′

Z

ρ(r

, t

t =t−|~r−r~

Z

vecj(r

, t

t =t−|~r−r~ |/c

|/c

è времен

(12.11)

ê источни ) 12.11 ( ормулах В

íàблюдаемыхвременимомент~

болееравнойнний

t

запаздывающимитоков,взятыев

момент

зарядовраспределенияявляютсяпотенциалов

В12конечной.3орму. лыПолескзапоростью,здывающихизлученияпотенци ламипотенциаловскорости.дипольномЗапаздываниесветвх.дит расстовызваноприближяниетем,от ~

t

′

енииизлучающегочтоэлектромагнитное.Поэтомузарпотенциалыядадоточкиполераспространяетс(наблю′ 12.11)денияназываютсс

= t − |~r − r |/c

ограниченаядмалойвпространствевеличинерядовразложитьтокàмаможноåсистянирасстоЕсли

òî÷ê

~′

наблюдения нах дится вдали от нее, |то~r−это.r |

r′/r:

~′

ãäå

|~r − r~′| = qr2 − 2~rr~′ + r′2 ≈ r(1 − 2

) 2 ≈ r − ~nr~′,

(12.12)

r

~nr

1

ä áàâê~n ойединичный ве

ор, напр вленный вдоль ~r. На больших расстояниях от излучающей системы малой

с вершают ~периовзнамдич′

воемодвижжноениемпренебречь.Добавк.ойЗаряды)12.11лелипотенциаловквзипериодическ(òîесликíàñ

излучающихсистемах

обычно

~nr

~′

зависимостиункциональной

/c

~

записать

~nr

ïðî

ждения

времениормах:меньшезарнескядов,олькихнамногов

у,словиесвязанныйможносзарядовперио.Этодутриопренебресистмыь,íможволны

ρ, j

T

~′

a

~nr

Т.е. поперечный диаметр системы излучаþùèõ=

çàрядовT, должилиенaбытьλ.намного меньше длины волны излучения(12.13).

c

c

èäâòпринимае)12.12(приближенияслучаевзапаздыванияВремя

r

~′

~′

ãäå

t′

= t −

c

+

c

= τ + ~nr

,

(12.14)

c

~′

чтосистемывыполняетсτ времязарядовзапаздыя.уВсловиеормуания(ле12надля.13рассто).векторногВрезуяниильтîатепотенциалазарядовормудовнутреточкидлявекторногонимаблюзапаздывандения,потенциала~nr /cемвремятакжиз(12езапаздыванияпренебрег.11)принимаетаем,внусчèтдриая,

системы,

1

электронейтðàëüíû,

скалярного для ормуле В

потенциала

разложим

ZV ~j(r~′, τ ) dV ′

(12.15)

A~

=

cr

~′

~′

~′

/c:

ρ(r

, τ + ~nr

/c) по малому параметру ~nr

обращаетсвследствиеятого,вноль,чтоииздëучающиеяскалярногоρпотенци(r τêàê+

c

) ≈ ρ(r

τ ) +

∂τ

c

! .

~′

∂ρ

~′

~′

~nr

~nr

àëàправилополучаем~′

óëóðìî

приближ(12ения.16)нулевогоотинтеграл

ϕ = r ZV ∂τ

c

! dV .

(12.17)

1

∂ρ

~′

′

~nr

областивзаписанногонеразрывности,уравненияИз

временипоäîâçàðÿ

τ

координатамштрихованнымпои

выразим

′~

∂ρ

= 0

(12.18)

j + ∂τ

∂ρ/∂τ и после подстановки в (12.18) сделаем несколько тождественных преобразований:

ϕ = −r

V ( ′~j)

c

dV ′ = r −

V ′ ~j(

~nc

) dV ′ +

V

(~j ′) c

dV ′!

(12.19)

1

~′

1

~′

~′

Z

Z

Z

поверяхностьноль.какобращаетсТак

занятойобъемувыбратьвынестивнеобласти,

Еслиинтегрировизинтеграланияможнопо

пропорциональнымтоинтегралповерхноститоками,

( ~nc

V ~n~j dV ′!

= r

− S

)~jn~′ dS′ + c

1

~′

1

I

Z

имеемпотенциалаалярного скдляатерезульВпотенциалу.

~n то он становится

-вектор

~

потенциала-рвектдля

)12.15(

прочитаем(12сзади.20)

напередДля вычисленияормулы (12интеграла.20), (12.17от). Тплотностиаккаквектора вϕ =ормуле~nA.

~n

имеемтольным,îпроизвбытьможет

ZV ~j dV ′

= ZV r~′

∂ρ

d

d~p

рвектгде

dV ′

=

ZV

ρr~′

dV ′

=

= p,~˙

(12.21)

∂τ

dτ

dτ

приближчерез îениемизвоp~ дную.этоОкончательдипольныйврмеотдлямоментдипольногопотенциаловсистемымоментзарвдипольномядасистевтокыприближовПоэтому.Такимениитобразомакоеимеемприближвекторение-потенциалназываетсвыражядипольнымается

çîíå)

~

1

˙

~

1

˙

поле Вычисляем

A =

cr

~p,

ϕ = ~nA =

cr

~n~.p

(12.22)

~

~

1

1

˙

1

˙

B

=

[ × A] =

c

(

r

× p~ + r

× ~p)

(12.23)

1

~r

~n

¨

Впренебречь.можнослагаемымпервым

кемыойñòсисеричельшихзонеудаленияхполеявляеотсяизлучающейполемсбволновойНа

îéâволнолны

=

(ââî

~

c (−[ r3

× p˙] − c × p~ .

~

1

¨

B =

rc

~p × ~n

(12.24)

акжполеэлектрическоеПоэтому

какбудет

волнеойêеричесс

непосредственным ~вычислением~

1

¨

)12.22(

(12.25)

ЭтоВекторможноПойнтингпроверитьа для дипольного излученияE = c[B Чравендля~n] =

~nпотенциалова× [~n × p~].

cr

~s =

c

~

~

1

¨

2

2

уголтелесныйвизлученияПоток

4π

[E × H ] =

4πr2c3

(p~)

SIN

θ ~n.

(12.26)

I =

(p~)

(12.28)

dΩ дается ормулой

1

¨ 2

2

пространство,дипольногоЕсли дипольныйизлученияполучаетсмоментимеетменяетсинтегрированиемпримерноятольквидпоквеличине,выражакнаdI = s~n dS енияис= .÷òî12(12.характерно(..p~27Полный)) SINпо всемпотокдляугантенн,лам,энергии,чтотодаетизлучаемыйдиаграмманаправленностиокруж(12ающее.27)θ dΩ

4πc3