III к. - Электродинамика / Лекции / Лекция 8. Магнитостатика

8.кцияЛ

тикнитостМ

8.1.

сплЛ-рС-Биоонкл,нципоткторныйВ

уравнениям:ксводятсяМаксвеллауравнениятоени,åìвротзависимостинетиотсутствуетполеэлектрическоеЕсли

~

=

0,

1)

B

Магнитное поле определяется только вектор-потенциалом~

4π~

2(8.

× H

=

c

j,

~

~

Векторуассона-потенциалдлявектораудовлетворяет уравнению ДаламбераB = [ (×3.16A]),. которое в магнитостатике сводится к уравнению(8.3)

помощьюДля задаинтеграч,из обуравненияëьнойадающихормынеразрывысокуравненияойоñòепенью((18..92)):. симметрии,

найти

с5).можно(8токовзаданныхполемагнитное

~

A

~

4π

4) . (8ток, стационарный я являетс поля магнитного ом к

следующемуПоскоторыйольку îвлетсуòворствуяет зависимостьуравнению от времени, то источíè~

A = − c

j.

~

j = 0

мо(использованоВ8.общемж4)етдаетбытьслучтризаписанодляуравнениямагнитноеопределенияпоПуаналогииполессонапостнахдлясîянныхдитсрешениемпроекций,IL H dl =

4π

c

I.

интегрированиядляниемтоскрешениуравн~ алярного.Тдляакпотенциала(к~ åíå èÿ 8системы.àê4).вИнтегральноедекарттоквэлектрîâойвнесистемеîуравнениегртикченномоор(динат8.6пространств) моуравжет быть(8ение.6)

1

~

~

обозначения)8.7(ормулеВ

A~

ZV

j(r )

dV ′.

(8.7)

= c

~′

′

|~r − r |

~

~r

задает)

чку наблювмагнитостдения,атик~

довлетвор~r, r же, чтоалибровкэлектростатике:

,

оторая к

r

′ ксвооордитсдинатыяк

унеразрывностиэлемсловиюнтшениеток(а8â.7)области,должнозанятойу′

.амиятьок

ê

Лоренца

3.14(

~

уравнениемåиспользуЛоренца,условиюудовлетворяет)8.7(равенствочторешениеазательства,докочевидное

A = 0(.8Äëÿ.5)

âãäå

1

= − ′

1

,

~

~

|

|

|~r − r

|~r − r

′

′

Внесемми.

ператор

′ поверкоорди

ятойзаобласти,атам

ди еренцированиепомощьюиет интегрирования,кдинатмточки наблюденинтеграля,в

ïîòîêà

операт

çíàêä

наегозаменим

′

îñòèíплотвекторесемпохностному:этогоПосле.

′

ñî

преобразуемуссатеоремы

ê

A~

1

ZV ~j(r~′ )

1

1

ZV ~j(r~′ ) ′

1

=

dV ′ = −

dV ′

c

~′

c

~′

|~r − r

|

|~r − r

|

1

~

~

1

~

~

′ j(r )

dV

′

IS

j(r )

′

dS

′

= 0.

=равнавыбра− c ZV

~′

= − c

~′

n~

′

′

интегрированиядоказаноплотность.мотокжноамЛоренцаинтегрированияОбъ

.ваминольтокябращаетсзанятогооостиема,еробъхнâбольшим27попоралоинтеголькüòнулю,нески

ТВыполнениеогданаповеркалибровкихности.

|~r − r |

|~r − r |

)8.7(потенциалавекторногоотораротемвычисленинаходитсяполямагнитногоИндукция

B~

=

[ × A~] =

1

~

~ )

dV ′

(8.8)

c ZV × j(r ~′

′

|~r − r |

1

1

1

~

=

Z

′

′

′

=

Z

~r − r

′

′

.

×~j(r~ ) dV

′ 3 ×~j(r~ ) dV

c

V

|~r − r~

|

c

′

V |~r − r~ |

сечения î поперечног ью лощад ï ñ èêà í провод квазилинейного случае В

S

записатьможно

ксводитсяобъемупоинтеграли

интегралу по длине проводника~ ′

~ ′

~

′

~

′

(8.10)

j dV

dB =

= jS dl

= I dl .

= jS dl

I

~

обозначениеВведем

B~

ZL

r

× dl~ ′.

(8.9)

= c

~r −~′ 3

′

|~r − r |

~

~′

~ ′:

R = ~r − r

и запишем индукцию, создаваемую элементом тока Idl

I

~

~ ′

]

~

[R × dl

.ольшихЛапласа-дробьовнкСавара-оБиотоконисточнзакотполэтояниях).10рассто8нитно(Мение.больших.2На8Выраж

р сстояниях3

.источникоот

c

R

r′ /r

порядкпервогочленовдоточностьюс)8.7(потенциалвекторзапишемè)5.12(разложениеИспользуем

вспомогательнуюДокажем

Ä1

ëÿ

ûõ1

токов, для которых′

(8.11)

теорему.A~ =

cr

ZVстационарн~j(r~′ ) dV ′ + cr3

ZV ~j(r~′ )(~rr~′ ) dV

~

равенствосправедливо,

ZV (~j )f (r ) dV =

j = 0

правилапомощьюC

Лейбница

0.ункции,

стационарности(8.12)используограничивающаясвойство

ренцирования ди

сложной~

′

′

′

~

образом,

÷òî

поверхностьего

таким интегрирования м å уссатоквыбираяов,получимобъ яормувнелуобласти дитс, нах

j = 0

(

ZV (~j )f (r~ ) dV

= ZV

(~j f (r~ )) dV

− ZV

f (r~ ) ~j dV

=

IS f (r~ )~jn~

dS

= 0.

вПоложим

)8.12

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′ ′

′

~

~

Тогда.

~

~

~, è èç (8.12) следует, что первое слагаемое в(8.11) равно нулю:

f (r

) = r

(j )r

= j

′

′

′

′

теперьПоложим

ZV (~j ′ )r~′ dV ′ = ZV ~j dV ′ = 0.

~

′

′

′

′

проекции ~

′

r

′ на оси координат. Из (8.12) найдем

f (r

) = xI xK , ãäå xI

, xK

íà)8.13(Умножая

ZV ~j ′xI′ xK′ dV ′

= ZV jI xK′ + jK xI′

dV ′

= 0.

(8.13)

xI

iпосуммируяи

получим

осьнапрекцияэто)8.14(Выражение

ZV (~j~r)xK′ + jK (r~′~r) dV ′

= 0.

(8.14)

орме:векторнойв)8.14(запишеми

xK

направо)8.14(вслагаемыхизодноПеренесемвыражения.векторного

ZV ~j(r~′~r) dV ′ = − ZV (~j~r)r~′ dV ′ .

(8.15)

Учтем, что RV ~j dV ′ = 0, и с помощью (8.15) запишем выражение (8.11) для вектор-потенциала в рме

A~ =

1

Z

~j(r~′ )(~rr~′ ) dV ′ =

1

Z

1

~j(~rr~′ ) + ~j(~rr~′ ) dV ′ =

3

3

2

cr

V

cr

V

åäå1

ормулойляется

1

Магнитный момент токов=опр

Z

~j(~rr~′ ) − r~′ (~j~r)

dV ′ = −

Z

[~r × [~j × r~′ ]] dV ′

2r

3

2r

3

V

V

~

~

.

j dV ‘ = Idl‘

Ò

äà

векторномуm~ = 2c

ZV

[r~

×~j] dV

=

2c ZV

[r~

× dl ] dV =

c n~

S

ïотенциалу находèì индукцию~

íîãî ò магни

1

′

′

I

′

′

′

1 ′

′

I

8.1.èñ

s`

N`

S`

DS`

DL`

R`

× ~r]

B~

= [ × A~] = h ×

[m~

i

r3

ZS

dS

′

1

n~ .

= c IS

ïîëÿ