III к. - Электродинамика / Лекции / Лекция 2. Материальные среды в электромагнитном поле
.pdfЛекция 2. Материальные среды в электромагнитном поле
2.1.Диэлектрики, электрическая поляризация
Диэлектрик состоит из атомов и молекул, которые содержат отрицательные и положительные заряды. Под
действием электрического поля ~ положительные и отрицательные заряды смещаются в противоположные
E
стороны, происходит поляризация вещества. Наведенные электрическим полем заряды, создают поле, которое
противоположно полю ~ . Следовательно, электрическое поле в диэлектрике будет меньше электрического поля,
E
создаваемого теми же зарядами в вакууме. Электрическое поле, которое было бы при отсутствии диэлектри-
~ |
|
|
|
ка обозначается буквой D и называется электрической индукцией. Электрическая индукция является суммой |
|||
~ |
|
|
~ |
электрического поля в диэлектрике E и поляризации диэлектрика P |
|||
~ |
~ |
~ |
(2.1) |
D = E + 4πP . |
|||
Множитель 4π присутствует в формуле(2.1), если применяется нерационализованная система единиц и отсутствует в рационализованной системе единиц.
В диэлектрике нет свободных зарядов и заряды не перемещаются на значительные расстояния. Однако, для любого выделенного внутри диэлектрика объема число положительных и отрицательных зарядов, переместившихся через поверхность, ограничивающую объем, для неоднородного диэлектрика не равно друг другу. Поэтому при поляризации внутри диэлектрика возникает связаный заряд с плотностью ρсвяз. Из определения
вектора ~ следует, что его источником являются свободные заряды, тогда как источником вектора ~ явля-
D E
ются все заряды свободные и связанные. Действуя на уравнение (2.1) оператором и используя уравнение Максвелла, получим
~ |
(2.2) |
4πρсвоб = 4π(ρсвоб + ρсвяз) + 4πP . |
|
Откуда следует, что связанные заряды и вектор поляризации удовлетворяют уравнению |
|
~ |
(2.3) |
ρсвяз = − P . |
Полный связанный заряд в диэлектрике равен нулю. Это доказывается интегрированием соотношения (2.3) по всему объему диэлектрика и преобразованием с помощью теоремы Гаусса объемного интеграла в интеграл по поверхности, окружающей диэлектрик и взятой вне его. На такой поверхности поляризация равна нулю, и следовательно интеграл от поляризации также равен нулю.
qсвяз = Z |
ρсвяз dV = −Z |
P~ dV = −I |
P~ ~n dS = 0. |
(2.4) |
V |
V |
|
S |
|
Для полей не очень большой напряженности принимается, что поляризация пропорциональна напряженности электрического поля. Для изотропных сред
~ |
~ |
~ |
~ ~ |
(2.5) |
P |
= χeE, |
D = (1 + 4πχe)E = εE. |
||
Здесь χe коэффициент диэлектрической воспримчивости, который всегда больше нуля, ε = (1 + 4πχe) диэлектрическая проницаемость среды. Для анизотропных сред диэлектрическая проницаемость среды становится тензором второго ранга, и связь индукции и напряженности электрического поля становится тензорной
Di = εij Ej . |
(2.6) |
По одинаковым индексам подразумевается суммирование.
В общем случае зависимость ~ и ~ может быть значительно сложнеее. Зависимость может быть нелинейной
D E
(нелинейные среды). Существуют среды, у которых вектор поляризации отличен от нуля в отсутствие электричесого поля (сегнетоэлектрики). Следует также учитывать, что для полей высокой частоты диэлектрическая проницаемость зависит от частоты (частотная дисперсия). Она может зависеть от сотояния среды в предшествующий момент времени (временная дисперсия) и от состояния среды в соседних точках (пространственная дисперсия). В общем случае диэлектрическая проницаемость может зависеть от координат. При рассмотрении общих вопросов мы будем считать, что среда изотропна и что диэлектрическая проницаемость является константой. Такая среда называется однородной и изотропной.
Конспект лекций И.С.Сягло. ЛЕКЦИЯ 2. МАТЕРИАЛЬНЫЕ СРЕДЫ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ 6
2.2.Магнетики, намагниченность.
При помещении среды в магнитное поле возникает намагниченность. Намагниченнось описывается вектором
намагниченности ~ . Сумма напряженности магнитного поля намагниченности называется вектором магнитной
M
индукции
~ ~ |
~ |
(2.7) |
B = H + 4πM . |
||
Наличие коэффициента 4π в формуле (2.7) зависит от выбора нерационализованной или рационализованной системы единиц.
Для линейных сред вектор намагниченности пропорционален вектору ~ H
~ |
~ |
(2.8) |
M = χmH. |
||
Коэффициент χm называется магнитной восприимчивостью. В отличие от диэлектрической восприимчивости коэффициент магнитной восприимчивости может быть как положительным так и отрицательным. В первом
случае среды называются парамагнетиками, во втором диамагнетиками. В линейных средах векторы ~ и ~ B H
связаны соотношением
~ |
~ |
~ |
(2.9) |
B = (1 + 4πχm)H = µH, µ = 1 + 4πχm. |
|||
Все сказанное о анизотропной среде и дисперсии для диэлектрической проницаемости справедливо и для магнитной проницаемости. Для большинства сред магнитная проницаемость µ слабо отличается от единицы. Имеется важный класс сред, в которых вектор намагниченности отличен от нуля в отсутствие магнитного поля. Такие среды называются ферромагнетиками.
2.3.Проводники, закон Ома
Проводники это среды, в которых имеются свободные электрические заряды. При наличии электрического поля свободные заряды двигаются и возникает электрический ток. В большинстве случаев можно считать, что связь между плотностью тока и напряженностью электрического поля линейная
~ |
~ |
(2.10) |
j |
= σE. |
Равенство (2.10) носит название закона Ома в дифференциальной форме. Величина σ удельная проводимость среды. В кристаллах удельная проводимость может быть различной в различных направлениях и, следовательно, является тензором.
Заряды могут перемещаться не только под действием электрического поля, но и других сил, например, химических или магнитных, называемых сторонними силами. Действие сторонних сил описывается эффективной
напряженностью ~сторон. Сторонние силы включают в закон Ома, который принимает вид
E
~ |
~ ~ |
(2.11) |
j |
= σ(E + Eсторон). |
2.4. Сила Лоренца
На заряды в электрическом поле действует сила со стороны электрического поля. На движущийся заряд действует еще сила со стороны магнитного поля. В общем случае при наличии электрического и магнитного полей выражение силы имеет вид
~ |
~ |
1 |
~ |
(2.12) |
F |
= q(E + |
c |
[~v × B]). |
Сила (2.12) называется силой Лоренца. Если заряды и токи распределены по некоторому объему, сила Лоренца вычисляется интегрированием по этому объему плотности силы Лоренца
~ |
~ |
1 |
~ |
~ |
(2.13) |
f |
= ρE + |
c [j |
× B]). |
||
2.5.Уравнения Максвелла в среде
Формально уравнения Максвелла в среде получаются усреднением микроскопических полей, которые существуют в атомах и молекулах. Электронна теори сред, впервые разработанная Лоренцом позволяет, получить или оценить значения диэлектрической и магнитной проницаемостей, удельной проводимости для некоторых сред. В большинстве случаев длля приложений формальное обоснование уравнений Максвелла не имеет значения.
5
Конспект лекций И.С.Сягло. ЛЕКЦИЯ 2. МАТЕРИАЛЬНЫЕ СРЕДЫ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ 7
Уравнения Максвелла постулируются как феноменологические уравнения, в которых параметры среды задаются феноменологическими значениями проницаемостей и проводимостей или более сложными уравнениями связи. В гауссовой системе единиц уравнения Максвелла в среде имеют вид
~ |
= |
4πρ, |
|
|
|
|
|
|
(2.14) |
|||||
D |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
~ |
= |
|
|
1 ∂B |
|
|
|
|
|
(2.15) |
||||
× E |
− |
c |
|
∂t |
, |
|
|
|
||||||
~ |
= |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.16) |
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
4π |
|
|
|
|
1 |
~ |
|
|
|||
~ |
|
|
~ |
|
∂D |
(2.17) |
||||||||
× H |
= |
|
c |
j |
+ |
c |
|
∂t |
. |
|||||
Уравнения Максвелла (2.14)-(2.17) должны быть дополнены уравнениями связи (2.5), (2.9) или другими для более сложных сред. В проводящих средах учитывается закон Ома (2.10). Если рассматривается движение зарядов под действием электрического и магнитного полей, то используется выражение для силы Лоренца (2.12) или (2.13). Уравнения Максвелла вместе с уравнениями связи, законом Ома и силой Лоренца позволяю решить любую задачу электродинамики в макроскопической области.
2.6.Граничные условия на границе раздела двух сред
Во многих случаях при решении задач электродинамики свойства среды меняются существенно на границе раздела, которую можно считать бесконено тонкой. Тогда уравнения электродинамики решаются в каждой области независимо. На границе раздела решения необходимо состыковать. Для согласования решений на границе раздела служат граничные условия. Они получаются из интегральной формы уравнений Максвелла.
Вначале получим граничные условия для вектора ~ . Для этого проинтегрируем уравнение (2.14) по объе-
D
му небольшого цилиндра, расположенного на границе двух сред, Рис. 2.1. После применения теоремы Гаусса поверхностный интеграл разобьется на сумму интегралов по двум основаниям и боковой поверхности
I |
D~n~ |
dS = Z |
D~n~ 1 dS + Z |
D~n~ 2 dS + Z |
D~n~ 3 dS = q. |
(2.18) |
|
S |
S1 |
|
S2 |
Sбок |
|
Нормаль к цилиндру должна быть внешней. Поэтому ~n2 = ~n, а ~n1 = −~n. Если высоту цилиндра h устремить к нулю, то интеграл по боковой поверхности также стремится к нулю. Так как основание цилиндра считается
малым, то вектор ~ можно считать постоянным на всей поверхности и вынести его за знак интеграла. В
D
пределе, когда h → 0,заряд, находящийся внутри цилиндра равен σS, где σ поверхностная плотность заряда на поверхности раздела. В результате получим
|
~ |
~ |
(2.19) |
|
D2~nS − D1~nS = σS. |
||
После сокращение на S получим граничное условие |
|
|
|
~ |
~ |
или D2n − D1n = σ. |
(2.20) |
(D2 |
− D1)~n = σ, |
||
|
~ |
|
|
Разность нормальных проекций вектора D равна плотности заряда на поверхности раздела. Так как уравнение |
|||
|
|
|
~ |
(2.16) отличается от уравнения (2.14) только нулем в правой части, то аналогичный вывод даст для вектора B |
|||
граничные условия |
|
|
|
~ |
~ |
или B2n − B1n = 0. |
(2.21) |
(B2 |
− B1)~n = 0, |
||
~ |
|
|
|
Нормальные проекции вектора B непрерывны на границе раздела двух сред. |
|
||
~ |
получим проинтегрировав уравнение (2.17) по площади малого пря- |
||
Граничные условия для вектора H |
|||
моугольного контура, включающего в себя границу раздела, Рис. 2.2, и применив теорему Стокса. Так как
|
|
|
|
|
|
~ |
обозначение нормали ~n занято для нормали к границе раздела, то нормаль к площадке контура обозначим k. |
||||||
Считаем, что на границе раздела вектор |
~ |
не обращается в бесконечность. Поэтому при стремлении h → 0 и |
||||
D |
||||||
|
|
|
|
|
~ |
|
обращении в этом пределе площади контура в ноль поток вектора D также обращается в ноль. Формула (1.20) |
||||||
принимает вид |
|
I |
|
|
|
|
|
|
H~ dl~ = I. |
|
(2.22) |
||
|
|
L |
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
Элемент интегрирования dl в областях 1 и 2 можно записать следующим образом |
|
|||||
~ |
= |
~ |
|
~ |
~ |
(2.23) |
dl1 |
−[k ×~n]dl, |
dl2 = [k × ~n]dl, |
||||
~ |
|
|
|
|
|
~ |
где [k ×~n] единичный вектор, паралельный контуру интегрирования. Считая вследствие малости контура H |
||||||
постоянным вдоль контура интегрирования, из (2.22) получим |
|
|||||
|
~ |
~ |
~ |
~ |
~n]l = I. |
(2.24) |
|
H2[k × ~n]l |
− H1 |
[k × |
|||
Конспект лекций И.С.Сягло. ЛЕКЦИЯ 2. МАТЕРИАЛЬНЫЕ СРЕДЫ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ 8
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ ~ |
~ ~ |
||||||||||
Рис. 2.1 К граничным условиям для D и B. |
Рис. 2.2 К граничным условиям для E иH.. |
||||||||||
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
Введем вектор плотности поверхностного тока на поверхности i. Тогда поверхностный ток через контур равен |
|||||||||||
~~ |
|
I = ik. В уравнении (2.24) в левой части сделаем циклическую перестановку. В результате уравнение (2.24) |
|
можно записать в виде |
|
~k ~n × (H~ 2 − H~ 1) −~i = 0. |
(2.25) |
Так как направление вектора ~ может быть выбрано произвольным, то нулю равно выражение в скобках, что k
дает граничное условие
~ |
~ |
~ |
(2.26) |
~n × (H2 |
− H1) = i. |
||
Часто граничное условие (2.26) записывают в скалярной форме |
|
||
H2τ − H1τ |
= i. |
(2.27) |
|
Здесь ~τ вектор, касательный к поверхности раздела и лежащий в плоскости контура. Направление тока и направление обхода контура удовлетворяют правилу правого буравчика. Если по границе раздела течет по-
верхностный ток, то касательные составляющие вектора ~ терпят разрыв, равный плотности поверхностного
H
тока.
Применяя те же выкладки к уравнению (1.21) получим граничные условия для вектора ~ :
E
~ |
~ |
или E2τ = E1τ |
(2.28) |
~n × (E2 |
− E1) = 0, |
Касательные составляющие вектора ~ непрерывны на границе раздела двух сред.
E