III к. - Электродинамика / Лекции / Лекция 8. Плоские электромагнитные волны

8.кцияЛ

олнынитныктромэл

потенциалытоковПлоскизарядовотсутствиеВ

уравнениямволновымоднороднымудовлетворяютполяэлектромагнитного

электромагнитде

~

2ϕ = 0,

1)

2A = 0,

2 оператор Даламбера

2 =

−

1

∂2

ðìóÂ

)8.2(

,

(8.2)

c2

∂t2

c

вакуумевскоростимагнитногосветдиэлекттенциаломиквместоидеальномВвакууме.вскоростьсвета

cолновыене бх димоураввзятьения скдляор напряженностиа в задаеэлектрикэлектрическc′2 = c/√

.

Èç

уравн

получитьможноМаксвеллаий

εµ

~

поляого

напряж

ности ~

нольЕсли.Ввекторрезульíойпоаòåволнынциалволнаобычнозависитполностьюпомощьютолькоградиентногояднойтолькпространственнвекторнымпреобразованияйкоор(E 3динаты,.9) ск.алярныйнапримерпотенциалкоординатыполяобращают.ДляH

ременâ

волново

видпринимаетуравнение

x, è

∂

2 ~

1 ∂

2

~

A

A

видимеетрешениеЕго

−

= 0.

3)

∂x2

c2

∂t2

x

x

(

~

волну,~

распростран~

ющуюсяÿ

вслагаемоеПервое

)8.4

описываетплоскуюA = A1(t − c ) + A2

(t + c ).

и.4)о(8направленииположительномв

oxдоль.Амплитунеесоплоскдаволнуоростьюлныпостоянна на

ñòè

x = const + ct,

которая перпендику ярна оси ox

ÿñперемещает

Плоскую

стиможно.c

записВтороетьслагвиде,аем неописываетзависящемволнуотвыбора,ид векторуооротрицатенатнойсистемыë направлении.Дляэтогоспользуси.емox

взять

r~n = const, перпендикулярной единичному

~n,

антыонстквместолиЕ.8.1èñ.

уравнениеconst + ct,ойтоволны,получимидущейплоскость,направленииперемещающуюсвектора

направлении вектора ~n со скоростью c. Поэтому

~n имеет вид

~

~

r~n

векторкогдаслучае,частномВ

A = A(t −

c

)

(8.5)

кобознаПерейдемчение

вычислению напряжнаправлененностейпополейоси~n

oxдля,выражплоскениеойволны,(8.5) даетзадаваемойпервоеслагормуаемоелойиз((88.5.4))..Введем

ξ = t −

r~n

поПроизводную

.

(8.6)

c

отпроизводныхчастныхВычислениебуквой.надточкойобозначатьбудем

~

какой-либо пространственнойξ

напримеркоординате,

A по времени и

x

результатдает

~

˙

~

nx ˙

∂A

∂A

~

~

∂t

= A,

∂x

= −

c

A.

(8.7)

E

N

N

(RN)

8.1èñ.

R

27

B

8.2èñ.

векторнагдеормулах,).7вектором8(изравенствавтороговиедсВсл

~

нужно

вектнаьòзамени

дитснад

~

A действует оператор , оператор

точкой над ектором(−~n/c)

A поставить точку. Частная производная по времени заменяется

ËàâКалибро

~

ñâî

векторуяравенству

åíöàA.

векторТ.е.

˙

(8.8)

~

˙

~a = ~nA.

волны. НапряженностьлежатE B

электрическвплоскостиого

ïîлястояннойииндукцииE Bазы,перпендикумагнитногоотораяперлярныïоляендикудругсвязанылярнадругуравнынаправлениювекторуповеличинераспространения~n .

~

~n.

равнаполяэлектрическогоНапряженность

(8.9)

A перпендикулярен

~

1 ˙

1 ∂A

~

~

E = −

c

∂t

= −

c

A

Таким образом вектор ~

векторуперпендикулярентакже

~n.

даетполямагнитногоиндукцииВычисление

E

1

˙

~

~

~

~

Векторы

B = [ × A] = −

c

[~n × A] = [~n × E].

(8.10)

~ , ~

,

èñ

8.2

. Т.е векторы ~ , ~

Вычислим вектор Пойнтинга и плотность энергииB электромагнитной= E.

вакууме)(вволны

(8.11)

~s

=

c

~

~

c

2

4π

[E × H ] =

4π

E

~n,

w =

1

E2 +

1

H

2 =

1

E2,

8π

8π

4π

волныавенствососк(8оростью.12) свидетельствусветает о том, что~s

энергия= cw~nэлектромагнитного поля переносится в направлении распространения(8.12)

Если8.1. зависимМоностьхромот временитичc. скимеетя плосквид я олн ,

цияполяри

Вописаниякомплекмонснойхроматическорме уравнениеойволнымоновместохроматическтригонометрическихойтоплоскволнаойназываетсволныCOS(ωt + α) ункцийимеетмоноувиддобнеехроматическпользоватьсойчастотойяэкспонент.амиДля.ω

~

~

r~n

~

~

ãäå

iω(t− c )

i(ωt−k~r)

,

(8.13)

E = E0e

= E0e

~

~

равныйвектор,волновой

E0

комплексная амплитуда, k

~

ω

полученияКормемплекДляопределеияснуюизмерзаписьяемыхполяризацииплосквеличинойволнынеобволныхмодимозапишемжнобратьиспользоввнадействительнуючалеквадраттолькокомплекчастьпривыполненииотснойрезуамплитульатлинейныхдывкомплеквспоненциальнойоперацийснойk = àòü~n. îðìå.(8Äëÿ.14).

c

векторов

~e , ~e

E0

мнимогоидействительногосуммывидев

ортогональны вследствие того, что квадрат E

ихПоэтомучисло.действительное

амплитуду комплексную новую делим опр и

E02

= |Eo |2eiα,

(8.15)

~′

~

−iα/2

16)

квадрат которой будет действительным. ЗапишемE =амплитудуE e ,

0

0

~′

~′

′

′

векторыЕдиничные

E0 = E0x~ex − E0y~ey .

(8.17)

читать базисомx

декартовойy

~′

можно

коодинатсистемы

0

После всех этих определений действительная часть уравнения,построеннойплоскволныплоскпринимаетостипостовидяннойxy

волны.азы

E~ = Reh(E0x~ex − E0y

~ey )ei(ωt

k~r+α/2)i = E0x COS(ωt − ~k~r + α/2)~ex + E0y SIN(ωt − ~k~r + α/2)~ey .

(8.18)

′

′

−~

′

′

В проекциях на оси xy

′

~

′

~

однаполяризацияамплитудЕсли

Ex = E0x COS(ωt − k~r + α/2),

Ey = E0y

SIN(ωt − k~r + α/2).

уравнение кривой,называетскоторуюялинейнойописывает.Когдаконецоба онивектораотличны от нуля, то исключая~вренеìеняетизравенствнапра ления(8.19).

′

′

йдемкаяàíÒ

E0x èëè E0y равна нулю, то при распространении волны вектор E

эллипсю

~

будеткривойЭтойволны.распространениипри

E

E2

E2

x

y

èíòå8êïÒîакеальные.г2ляризациядаая.ðвалеразныхполяризацияВолноисточникичастотвырознак.ыовждТакуюннеàпзываетслевойизлучаюткяволнуты,.круговуюяэллиптическморуппоможíî.хроматизаписатьКогойдая .÷åñêîáåÂâîðî÷видеаóþ+стноммплитуволнуинтеграласуммыслучае,ды,оизñòü= 1. волндногокучаютсдазнакразнымиобеволныаамплитуполяризациячастотвнекдыотором,амиравны.называетсПривозмоэллиптическнепрерывнжнояправой,узк(8.20)îìàÿ

E′2

E′2

запишетсяволнареальнаячастотеделениирасп

0x

0y

Äëÿ

волну,

E = Z

ω0+Δω

A(ω)e

dω.

рассматриваемупрощения

i(ωt−kx)

(8.21)

осивдольраспространяющуюся

ω0− ω

ункцию

ox, Вследствие малости интервала

ω

k(ω) разложим

приближением,первымограничиваясьяд,

амплитудаостиеальВ

k = k0 +

dk

(ω − ω0).

(8.22)

dω

будемупрощений

A(ω)

вблизимаксимумимеет

ω = ω0

дальнейшихДляинтервала.

считать

границамкинтегралаубывает

A(ω)

Вычислениепостоянной.

резудаетусловияхпринятыхпри

òàò

E

SIN

ω(t

dωdk x)

i(ω0t−k0 x)

.

представляет)8.23(

= 2

A

t − dωdk x

e

(8.23)

ешение

,îëíóвплоскуюсобой

примаксимумимееткоторойдаамплиту

перемещаемаксимум

ñ

скоростьюсопространстве

t − dωdk x = 0. Ýòîò

Вскоростью.групповойназываетсякоторая

vg

x

dω

интервале(8.24)внуляототличнополевремени

= t

= dk .

момент é иксированны

иксированную

пространстваx = x2

− x1

=

2π

=

2π

ω dωdk

k .

Через

точку

проходитволна

çà

время

(8.25)

2π

иволн,времяТакзанимаетоеегообразпроîхграниченноеваниежденияназываетсчерезпространстяикволновымсироаннуюираспространпакточкуетом.сt = Волвязетсаныновой. ссоотношениямигрупповойпакетявляетсскоростьюясуммой.Так монокакразмерыхроматическихпак(8.ет26)

ω