III к. - Электродинамика / Лекции / Лекция 6. Функция Грина для уравнения Пуассона

Лекция 6. Функция Грина для уравнения Пуассона

6.1.Однозначность решения уравнения Пуассона при заданных граничных условиях

Здесь ϕ, ψ дифференцируемые функции координат. В левой части интеграл берется по некоторому объему, в правой части по поверхности, ограничивающей объем. Производная по n производная по направлению внешней нормали к объему.

С помощью первой формулы Грина доказывается единственноть решения задач электростатики, когда помимо зарядов еще заданы потенциалы или производные по нормали от потенциалов на некоторых поверхностях. Возможны два варианта: а) поверхность окружает заряды, Рис. 6.1, б) заряды находятся вне поверхности,Рис. 6.2. В случае б) задачу можно дополнить поверхностью S1, которую в дальнейшем удалить на бесконечность. Тогда заряды можно считать окруженными поверхностями S и S1. Задача сводится к случаю а).

Предположим, что есть два решения ϕ1 и ϕ2, которые удовлетворяют уравнению Пуассона. Тогда их разность U = ϕ2 − ϕ1 удовлетворяет уравнению Лапласа U = 0. Положим ϕ = ψ = U в первой формуле Грина (6.1).

Если на поверхности S задать потенциал, то на этой поверхности U = ϕ2 − ϕ1 = 0. Если на S задать нормальную производную от потенциала, то на ней обратится в ноль ∂U/∂n. В обоих случаях правая часть формулы (6.3) обращается в ноль. Поскольку под знаком интеграла в левой части стоит положительная величина, то это означает, что U = 0 и, следовательно, U = const. Таким образом ϕ1 и ϕ2 могут отличаться на постоянную, что несущественно, так как потенциал определяется с точностью до постоянной. Следовательно, задание на поверхности потенциала или его нормальной производной позволяет однозначно найти решение уравнения Пуассона или уравнения Лапласа.

Граничные условия, заданные на значение потенциала на поверхности, называются граничными условиями Дирихле. Граничные условия, заданные на значения нормальных производных от потенциала на поверхности, называются граничными условиями Неймана. Граничные условия Неймана реализуются, когда поверхность является проводником и на ней задана поверхностная плотность зарядов.

6.2.Решение уравнения Пуассона методом функции Грина

Пусть G(~r, ~r′ ) функция которая удовлетворяет уравнениям

где и ′ оператоы Лапласа соответственно по нештрихованным и штрихованным координатам. Если во второй формуле Грина (6.2) ϕ считать скалярным потенциалом электрического поля, в качестве функции ψ взять G(~r, ~r′ ) и интегрирование вести по области, где находятся заряды (координаты штрихованные), то получим

Функция G(~r, ~r′ ) называется функцией Грина уравнения Пуассона. Она позволяет формально записать решение уравнения Пуассона в виде равенства (6.5). На самом деле равенство (6.5) является интегральным уравнением для потенциала. Однако, при надлежащем выборе функции Грина оно позволяет получить решение в явном виде.

Перейдем к отысканию функции Грина. Уравнение (6.4) совпадает с уравнением Пуассона из (5.10), если положить q = 1. Поэтому одно из его решений можно получить из решения (5.10):

~

где R = ~r − ~r′ вектор, проведенный из элемента интегрирования в точку наблюдения. При подстановке функции G0 из (6.6) в формулу (6.5) получим

Для ограниченной системы зарядов, находящейся в бесконечном пространстве, поверхность интегрирования в поверхностном интеграле можно устремить к бесконечности. Так как функция, находящеяся под знаком интеграла убывает быстрее, чем 1/r2 то поверхностный интеграл стремится к нулю и (6.6) дает уже известное решение (5.11) уравнения Пуассона

Функция Грина G0(~r, ~r′ ) можно считать функцией влияния. Она позволяет при помощи интегрального преобразования по заданной плотности заряда вычислить потенциал.

При наличии поверхностей, на которых заданы граничные условия, их можно учесть, выбирая соответствующим образом функцию Грина. Для этого функцию Грина выбирают в виде

где G0(~r, ~r′) определенная выше функция Грина, имеющая особенность при ~r = ~r′ и удовлетворяющая уравнению Пуассона (6.4) с δ-функцией в правой части. Тогда неизвестная функция F (~r, ~r′ ) не имеет особенностей при ~r = ~r′ и удовлетворяет уравнению Лапласа.

Для граничных условий Дирихле необходимо взять такое решение для F (~r, ~r′ ), чтобы на поверхности, где заданы граничные условия, функция Грина (6.9) обратилась в ноль. Тогда формула (6.5) принимает вид

Поскольку потенциал на поверхности интегрирования задан, то формула (6.11) дает решение уравнения Пуассона.

Если имеются граничные условия Неймана, то на первый взгляд на граничной поверхности следует положить

∂G

= 0, (6.12)

∂n′ S