Degtyarenko_dlya_studentov_II_kursa_2013 / Детерминир. модели / Детерм. мод. - лаб. работы / Лаб. раб. 5 / Решенные лекционные задачи / Лаб. работа5.2

1.2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ РЕАКЦИИ

Случай 3

Уравнение кинетической кривой для исходного реагента А

In[1]:= CA CA0 Exp k1 t

Out[1]= t k1 CA0

Аналитический способ нахождения кинетических кривых для веществ

B и С при помощи встроенной функции DSolve системы Mathematica

In[2]:= sol DSolve СB ' t k1 CA k2 СB t СС t ,

СС ' t k2 СB t СС t , СB 0 0, СС 0 CC0 , СB t , СС t , t

Out[2]= СB t t k1 1 t k1 CA0, СС t 0

При попытке решить указанную систему аналитически получили нулевое решение для функции СС t , которое не удовлетворяет начальному условию для этой функции,потому что CC0 0 по условию задачи. Если воспользоваться для решения указанной системы средствами других программных пакетов, например,

среды Maple, то получим, что решение данной задачи Коши содержит в себе интеграл, который может быть рассчитан только

численно. В связи с этим применим функцию NDSolve,

чтобы получить численное решение рассматриваемой системы. Будем,

например, считать, что t 0;20 , а числовые значения констант скоростей последовательных стадий и начальных концентраций исходных веществ принимают следующие конкретные значения.

In[3]:= CA0 1; CC0 0.9; k1 0.5; k2 0.1;

In[4]:= nsol NDSolve СB ' t k1 CA k2 СB t СС t ,

СС ' t k2 СB t СС t , СB 0 0, СС 0 CC0 , СB, СС , t, 0, 20

Out[4]= СB InterpolatingFunction 0., 20. , , СС InterpolatingFunction 0., 20. ,

In[5]:= CP CC0 СС t . nsol 1

Out[5]= 0.9 InterpolatingFunction 0., 20. , t

Текущая концентрация продукта Р, полученная в численном виде

2 Лаб. работа5.2.3.nb

In[6]:= Needs "PlotLegends`"

In[7]:= Plot CA, СB t . nsol 1 , СС t . nsol 1 , CP ,

t, 0, 20 , PlotLabel "Решение прямой кинетической задачи

для последовательной реакции второго порядка

в случае 3", AxesLabel "t", "С" , PlotRange Full,

PlotStyle Thick, Thickness 0.01 , Dashed, Thickness 0.02 , RGBColor 1, 0, 0 ,

При построении графиков кинетическая кривая для исходного реагента А была рассчитана аналитически, кинетические кривые для веществ B и С численно, а кинетическая кривая для продукта Р исходя из принципа материального баланса. Идентичные результаты

можно получить, если применить к исходной в случае 3 системе функцию NDSolve,

считая, что t 0;20 и числовые значения констант

скоростей последовательных стадий и начальных концентраций исходных веществ принимают указанные выше конкретные значения.

Глядя на графики, можно предположить, что локальный максимум кинетической кривой СB t и точки перегиба графиков функций СС t и

СP t соответствуют одному и тому же значению t, причем других точек локального экстремума на промежутке 0;20 кинетическая кривая СB t не имеет,

так же, как кривые СС t и СP t не имеют других точек

перегиба на рассматриваемом промежутке. Остановимся на этих предположениях подробнее

Лаб. работа5.2.3.nb 3

In[8]:= d1 D СB t . nsol 1 , t

Out[8]= InterpolatingFunction 0., 20. , t

In[9]:= d2 D СB t . nsol 1 , t, 2

Out[9]= InterpolatingFunction 0., 20. , t

In[10]:= Plot d1, d2 , t, 0, 20 , PlotLabel "Графики функций СB' t , СB'' t

на промежутке 0;20 ", PlotRange Full,

PlotStyle Thick, Thickness 0.01 , Dashed, Thickness 0.02 , RGBColor 1, 0, 0 , PlotLegend "СB' t ", "СB'' t " , LegendPosition 1.3, 0.5 , GridLines Automatic

4 Лаб. работа5.2.3.nb

In[12]:= Plot d1, d2 , t, 4, 5 , PlotLabel "Графики функций СB' t , СB'' t

на промежутке 4;5 ", PlotRange Full,

PlotStyle Thick, Thickness 0.01 , Dashed, Thickness 0.02 , RGBColor 1, 0, 0 ,

Глядя на три последних рисунка,

можно сказать следующее: первая производная функции СB t

существует на промежутке 0;20 и обращается в нуль только в одной

точке этого промежутка, причем в этой точке вторая производная функции СB t

меньше нуля. Это согласуется с нашим предположением о том,

что функция СB t не имеет других точек локального экстремума на промежутке 0;20 ,

кроме единственной точки локального максимума в нашем случае t 4.6 .

In[13]:= СB 4.6 . nsol 1

Out[13]= 0.705847

Координаты точки локального максимума графика

функции СB t приблизительно такие: t 4.6,CB 4.6 0.705847

In[14]:= d3 D СС t . nsol 1 , t, 2

Out[14]= InterpolatingFunction 0., 20. , t

In[15]:= d4 D СС t . nsol 1 , t, 3

Out[15]= InterpolatingFunction 0., 20. , t

In[17]:= Plot d3, d4 , t, 0, 20 , PlotLabel "Графики функций СC'' t , СC''' t

на промежутке 0;20

в диапазоне функциональных значений,

близких к нулю", PlotRange 0.005, 0.005 ,

PlotStyle Thick, Thickness 0.01 , Dashed, Thickness 0.02 , RGBColor 1, 0, 0 , PlotLegend "СC'' t ", "СC''' t " , LegendPosition 1.3, 0.5 , GridLines Automatic

Глядя на три последних рисунка,

можно сказать следующее: вторая производная функции СС t существует на промежутке 0;20 и обращается в нуль только в одной точке этого промежутка,

причем в этой точке третья производная функции СС t не равна нулю.

Это согласуется с нашим предположением о том, что функция СС t

имеет единственную точку перегиба на рассматриваемом промежутке в нашем случае t 3.2 .

In[19]:= СС 3.2 . nsol 1

Out[19]= 0.778453

Координаты точки перегиба графика функции СС t

приблизительно такие: t 3.2,CС 3.2 0.778453

Из исходной системы следует, что СС' t СP' t для любого значения t 0. Следовательно,

функции СС t и СP t связаны между собой тождеством СС t СP t С при t 0,

где С это некоторая константа. Таким образом, как график

функции СС t , так и график функции СP t имеет на промежутке 0;20

единственную точку перегиба при значении t 3.2. Это согласуется с нашим предположением о том, что точки перегиба графиков функций СС t и СP t соответствуют одному и тому же значению t. Предположение о том, что этому же значению t соответствует и локальный максимум кинетической кривой СB t , опровергается, поскольку функция СB t

имеет единственный локальный максимум на рассматриваемом промежутке в точке t 4.6.

In[20]:= CP . t 3.2

Out[20]= 0.121547

Координаты точки перегиба графика функции СP t приблизительно такие: t 3.2,CP 3.2 0.121547

Анализируя графики кинетических кривых СС t и СP t , замечаем,

что при t 3.2 как скорость расходования реагента С,

так и скорость накопления продукта Р является максимальной