Degtyarenko_dlya_studentov_II_kursa_2013 / Детерминир. модели / Детерм. мод. - лаб. работы / Лаб. раб. 5 / Решенные лекционные задачи / Лаб. работа5.2

1.2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ РЕАКЦИИ

Случай 4

Уравнение кинетической кривой для исходного реагента А

In[1]:= CA CA0 Exp k1 t

Out[1]= t k1 CA0

Аналитический способ нахождения кинетических кривых для веществ

B и P при помощи встроенной функции DSolve системы Mathematica

In[2]:= sol DSolve

СB ' t k1 CA 2 k2 СB t ^2, СP ' t k2 СB t ^2, СB 0 0, СP 0 0 , СB t , СP t , t

DSolve::bvfail : For some branches of the general solution, unable to solve the conditions.

Out[2]=

Функция DSolve системы Mathematica не справляется с аналитическим решением поставленной задачи. В связи с этим применим функцию NDSolve,

чтобы получить численное решение рассматриваемой системы. Будем,

например, считать, что t 0;20 , а числовые

значения констант скоростей последовательных стадий и начальной концентрации исходного вещества А принимают следующие конкретные значения.

In[3]:= CA0 1; k1 0.5; k2 0.1;

In[4]:= nsol NDSolve

СB ' t k1 CA 2 k2 СB t ^2, СP' t k2 СB t ^2, СB 0 0, СP 0 0 , СB, СP , t, 0, 20

Out[4]= СB InterpolatingFunction 0., 20. , , СP InterpolatingFunction 0., 20. ,

2 Лаб. работа5.2.4.nb

In[5]:= Needs "PlotLegends`"

In[6]:= Plot CA, СB t . nsol 1 , СP t . nsol 1 ,

t, 0, 20 , PlotLabel "Решение прямой кинетической задачи

для последовательной реакции второго порядка

в случае 4", AxesLabel "t", "С" , PlotRange Full,

PlotStyle Thick, Thickness 0.01 , Dashed, Thickness 0.02 , RGBColor 1, 0, 0 ,

DotDashed, Thickness 0.02 , RGBColor 0, 1, 0 ,

PlotLegend "СA t ", "СB t ", "СP t " , LegendPosition 1.3, 0.5 ,

GridLines Automatic

При построении графиков кинетическая кривая для исходного реагента А была рассчитана аналитически, кинетические кривые для веществ B и P численно. Идентичные результаты можно получить,

если применить к исходной в случае 4 системе функцию NDSolve,

считая, что t 0;20 и числовые значения констант скоростей последовательных стадий и начальной концентрации исходного вещества А принимают указанные выше конкретные значения.

Согласно графику можно предположить, что локальный максимум кинетической кривой СB t и точка перегиба графика функции

СP t соответствуют одному и тому же значению t, причем других точек локального экстремума на промежутке 0;20 кинетическая кривая СB t не имеет,

так же, как кривая СP t не имеет других точек

перегиба на рассматриваемом промежутке. Остановимся на этих предположениях подробнее

Сначала исследуем функцию СB t на промежутке 0;20

In[7]:= d1 D СB t . nsol 1 , t, 1

Out[7]= InterpolatingFunction 0., 20. , t

In[8]:= d2 D d1, t

Out[8]= InterpolatingFunction 0., 20. , t

Лаб. работа5.2.4.nb 3

In[9]:= Plot d1, d2 , t, 0, 20 , PlotLabel "Графики функций СB' t , СB'' t

на промежутке 0;20 ", PlotRange Full,

PlotStyle Thick, Thickness 0.01 , Dashed, Thickness 0.02 , RGBColor 1, 0, 0 , PlotLegend "СB' t ", "СB'' t " , LegendPosition 1.3, 0.5 , GridLines Automatic

4 Лаб. работа5.2.4.nb

In[11]:= Plot d1, d2 , t, 3, 4 , PlotLabel "Графики функций СB' t , СB'' t

на промежутке 3;4 ", PlotRange Full,

PlotStyle Thick, Thickness 0.01 , Dashed, Thickness 0.02 , RGBColor 1, 0, 0 ,

Глядя на три последних рисунка, можно сказать следующее:

первая производная функции СB t существует на промежутке

0;20 и обращается в нуль только в одной точке этого промежутка,

причем в этой точке вторая производная функции СB t является отрицательной. Это согласуется с нашим предположением о том,

что на промежутке 0;20 кинетическая кривая СB t имеет единственную точку локального экстремума, а именно,

точку локального максимума в нашем случае t 3.6 .

In[12]:= СB 3.6 . nsol 1

Out[12]= 0.649059

In[13]:= СP 3.6 . nsol 1

Out[13]= 0.0928212

Координаты точки перегиба графика функции СP t приблизительно следующие: t 3.6,CP 3.6 0.0928212.

Из проведенных исследований можно сделать вывод: при t 3.6

концентрация реагента В и скорость накопления продукта P реакции максимальны