Degtyarenko_dlya_studentov_II_kursa_2013 / Детерминир. модели / Детерм. мод. - лаб. работы / Лаб. раб. 5 / Решенные лекционные задачи / Лаб. работа5

1.1. ОБРАТИМЫЕ ДВУСТОРОННИЕ РЕАКЦИИ

Случай 1.

Аналитическое решение задачи Коши из математической модели обратимой реакции первого порядка при помощи метода разделения переменных с последующим интегрированием

t k1 k2 1 t k1 k2 CA0 k1 CB0 k2

Out[5]= x t k1 k2

t k1 k2 1 t k1 k2 CA0 k1 CB0 k2

In[6]:= sol2 k1 k2

t k1 k2 1 t k1 k2 CA0 k1 CB0 k2

Out[6]=

k1 k2

Результаты идентичны

Найдем численное решение той же самой задачи Коши, если t 0;10 ,

при определенных числовых значениях констант скоростей прямой и обратной стадий и начальных концентраций реагирующих веществ. Сравним

графики численного решения и решения, полученного аналитическим путем.

In[7]:= CA0 1; CB0 0.2; k1 0.45; k2 0.12;

In[8]:= sol2

Out[8]= 0.747368 0.57 t 1 0.57 t

In[9]:= sol3 NDSolve x' t k1 CA0 x t k2 CB0 x t , x 0 0 , x, t, 0, 10

Out[9]= x InterpolatingFunction 0., 10. ,

Лаб. работа5.1.nb 3

In[16]:= Plot CA, CB , t, 0, 10 , PlotRange 0, CA0 ,

PlotStyle Thickness 0.01 , Dashed, Thickness 0.015 , RGBColor 1, 0, 0 , PlotLabel "Решение прямой кинетической задачи

для двусторонней реакции первого порядка", AxesLabel "t", "С" ,

PlotLegend "СA t ", "СB t " , LegendPosition 1.3, 0.5 , GridLines Automatic

Приведем графики скоростей прямой и обратной стадий при тех же числовых значениях констант скоростей прямой и

обратной стадий и начальных концентраций реагирующих веществ

In[17]:= Plot k1 CA, k2 CB , t, 0, 20 ,

PlotStyle Thickness 0.01 , Dashed, Thickness 0.015 , RGBColor 1, 0, 0 ,

PlotLabel "Графики скоростей прямой и обратной стадий",

AxesLabel "t", "r" , PlotLegend "r1 k1СA t ", "r2 k2СB t " ,

LegendPosition 1.3, 0.5 , GridLines Automatic

Графикискоростейпрямойиобратнойстадий

r

0.130

0.125

0.120

Out[17]=

r1 k1СA t

In[19]:= d1 D sol1, t FullSimplify

Out[19]= t k1 k2 CA0 k1 CB0 k2

Первая производная положительна при t 0. Следовательно,

функция x t возрастает на рассматриваемом промежутке.

4 Лаб. работа5.1.nb

Произведение k1 на равновесную концентрацию вещества

А равно произведению k2 на равновесную концентрацию вещества В,

т.е. скорости прямой и обратной стадий двусторонней реакции со временем становятся практически одинаковыми,

что соответствует состоянию динамического равновесия системы.

Случай 2.

Аналитическое решение задачи Коши из математической модели обратимой реакции второго порядка при помощи метода разделения переменных с последующим интегрированием

In[25]:= intu Integrate 1 k1 CA0 u CB0 u k2 CC0 u CD0 u , u

Out[25]= 2 ArcTan 2 u CA0 CB0 k1 2 u CC0 CD0 k2 C2A0 k21 C2B0 k21 2 CB0 CC0 CD0 k1 k2

k2 2 CC0 CD0 2 k1 k2 C2C0 k2 C2D0 k2 2 CA0 k1 CB0 k1 2 k2 CC0 CD0 k2C2A0 k21 C2B0 k21 2 CB0 CC0 CD0 k1 k2 k2 2 CC0 CD0 2 k1 k2 C2C0 k2 C2D0 k2

2 CA0 k1 CB0 k1 2 k2 CC0 CD0 k2

Полученное аналитическое выражение неопределенного интеграла слишком громоздко,

и дальнейшая работа с ним затруднительна.

Аналогичные проблемы возникают, если попытаться решить ту же самую задачу Коши при помощи встроенной функции DSolve

системы Mathematica. Поэтому преобразуем подынтегральную функцию,

раскрыв все скобки в ее знаменателе и введя некоторые новые обозначения

Лаб. работа5.1.nb 5

In[26]:= Collect k1 CA0 u CB0 u k2 CC0 u CD0 u , u

Out[26]= CA0 CB0 k1 u2 k1 k2 CC0 CD0 k2 u CA0 k1 CB0 k1 CC0 k2 CD0 k2

In[27]:= k1 k2; CA0 k1 CB0 k1 CC0 k2 CD0 k2; CA0 CB0 k1 CC0 CD0 k2;

In[28]:= Clear , ,

Проинтегрируем ту же функцию с учетом новых обозначений

In[29]:= intu Integrate 1 u^2 u , u

Out[30]= 2 4

In[31]:= Clear

2 ArcTan 2 u

In[32]:= intu

2 ArcTan 2 u

Out[32]=

Найдем определенный интеграл

In[33]:= intu0 intu . u 0; intu1 intu . u x; int1 intu1 intu0

Tan t ArcTan2

Out[35]=

2

Получили решение задачи Коши в компактном аналитическом виде. Заметим,

что если попытаться решить задачу Коши x' t x t ^2 x t ,x 0 0 при помощи встроенной функции DSolve системы Mathematica, то получим достаточно громоздкие выражения, причем компьютерная система укажет на то обстоятельство,

что некоторые решения задачи Коши, возможно, не найдены,

и посоветует использовать встроенную функцию Reduce.

6 Лаб. работа5.1.nb

Найдем теперь численное решение той же самой задачи Коши, если t 0;60 ,

при определенных числовых значениях констант скоростей прямой и обратной стадий и начальных концентраций реагирующих веществ. Сравним

графики численного решения и решения, полученного аналитическим путем.

In[36]:= CA0 0.06; CB0 0.05; CC0 0.04; CD0 0.03; k1 0.5; k2 0.25;

In[37]:= k1 k2

CA0 k1 CB0 k1 CC0 k2 CD0 k2

CA0 CB0 k1 CC0 CD0 k2

2 4

Out[37]= 0.25

Out[38]= 0.0725

Out[39]= 0.0012

Out[40]= 0. 0.0636887

In[41]:= sol4

Out[41]= 2. 0.0725 0. 0.0636887 Tan 1.5708 1.369 0. 0.0318443 t

In[42]:= sol5 NDSolve

x' t k1 CA0 x t CB0 x t k2 CC0 x t CD0 x t , x 0 0 , x, t, 0, 60

Out[42]= x InterpolatingFunction 0., 60. ,

In[43]:= Plot sol4, x t . sol5 1 , t, 0, 60 ,

PlotLabel "График аналитического и численного решений рассматриваемой задачи Коши", AxesLabel "t", "x" , PlotStyle

Thickness 0.01 , Dashed, Thickness 0.015 , RGBColor 1, 0, 0 , GridLines Automatic

Лаб. работа5.1.nb 7

In[44]:= CA0 .; CB0 .; CC0 .; CD0 .; k1 .; k2 .; .; .; .; .;

Представим графически полученные для случая 2 результаты. Приведем графики кинетических кривых для каждого участника реакции при определенных числовых значениях констант скоростей прямой и обратной стадий и начальных концентраций реагирующих веществ

In[49]:= CA0 0.06; CB0 0.05; CC0 0.04; CD0 0.03; k1 0.5; k2 0.25;

In[50]:= k1 k2

CA0 k1 CB0 k1 CC0 k2 CD0 k2

CA0 CB0 k1 CC0 CD0 k2

2 4

Out[50]= 0.25

Out[51]= 0.0725

Out[52]= 0.0012

Out[53]= 0. 0.0636887