Degtyarenko_dlya_studentov_II_kursa_2013 / Детерминир. модели / Детерм. мод. - лаб. работы / Лаб. раб. 5 / Решенные лекционные задачи / Лаб. работа5.2
.1.pdf1.2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ РЕАКЦИИ
Случай 1.
Уравнение кинетической кривой для исходного реагента А
In[1]:= CA CA0 Exp k1 t
Out[1]= t k1 CA0
Аналитический способ нахождения кинетической кривой для промежуточного продукта B при помощи встроенной функции DSolve системы Mathematica
In[2]:= |
CB DSolve СB ' t k1 CA |
k2 |
СB t , СB 0 0 , СB t , t |
|
|||||||||||||||||||||||
Out[2]= |
|
СB t |
|
|
t |
|
k1 |
k2 |
|
t k2 |
1 |
|
|
|
|
k1 |
k2 |
|
|
CA0 k1 |
|
||||||
|
|
t k1 k2 t k2 |
|
|
|
|
k1 |
|
k2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1 t k1 k2 |
|
CA0 k1 |
|
|
|||||||||||||||||||||
In[3]:= |
t k1 |
|
1 t k1 k2 |
|
|
CA0 k1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
FullSimplify |
|
|||||||||||
CB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
k1 |
|
|
|
|
|
k1 |
|
k2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
k2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Out[3]= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Аналитический способ нахождения кинетической кривой для |
баланса |
|||||||||||||||||||||||||
|
конечного продукта P при помощи уравнения материального |
In[4]:= CP CA0 CA CB FullSimplify
CA0 1 t k2 k1 1 t k1 k2
Out[4]= k1 k2
Итак, получено аналитическое решение прямой кинетической задачи,
рассматриваемой в случае 1
2 Лаб. работа5.2.1.nb
Представим графически полученные для случая 1
результаты. Приведем графики кинетических кривых для всех участников реакции при определенных числовых значениях констант скоростей последовательных стадий и начальной концентрации исходного реагента А
In[5]:= CA0 1; k1 0.5; k2 1 3;
In[6]:= Needs "PlotLegends`"
In[7]:= Plot CA, CB, CP , t, 0, 10 , PlotRange 0, Full ,
PlotStyle Thickness 0.01 , Dashed, Thickness 0.02 , RGBColor 1, 0, 0 ,
DotDashed, Thickness 0.02 , RGBColor 0, 1, 0 , PlotLabel "Решение прямой кинетической задачи для последовательной реакции первого порядка
в случае 1", AxesLabel "t", "С" , PlotLegend "СA t ", "СB t ", "СP t " , LegendPosition 1.3, 0.5 , GridLines Automatic
Решениепрямойкинетическойзадачи |
|
||||||
дляпоследовательнойреакциипервогопорядка |
|
||||||
|
|
|
в случае 1 |
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
СA t |
1.0 |
|
|
|
|
|
|
|
0.8 |
|
|
|
|
|
|
|
0.4 |
|
|
|
|
|
|
|
0.6 |
|
|
|
|
|
|
СB t |
0.2 |
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 t |
СP t |
Лаб. работа5.2.1.nb 3
Найдем в случае 1 численное решение исходной системы
ДУ с системой соответствующих начальных условий, если t 0;10 ,
при указанных выше числовых значениях констант скоростей последовательных стадий и начальных концентраций реагирующих веществ. Сравним графики численного решения и решения, полученного аналитическим путем.
In[8]:= CA .; CB .; CP .
In[9]:= sol NDSolve CA ' t k1 CA t , CB ' t k1 CA t k2 CB t ,
CP ' t k2 CB t , CA 0 CA0, CB 0 0, CP 0 0 , CA, CB, CP , t, 0, 10
Out[9]= CA InterpolatingFunction 0., 10. , ,
CB InterpolatingFunction 0., 10. , , CP InterpolatingFunction 0., 10. ,
In[10]:= Plot CA t . sol 1 , CB t . sol 1 , CP t . sol 1 ,
t, 0, 10 , PlotLabel "График численного решения
математической модели из случая 1", AxesLabel "t", "С" , PlotRange 0, Full , PlotStyle Thick, Thickness 0.01 , Dashed, Thickness 0.02 , RGBColor 1, 0, 0 ,
DotDashed, Thickness 0.02 , RGBColor 0, 1, 0 ,
PlotLegend "СA t ", "СB t ", "СP t " , LegendPosition 1.3, 0.5 ,
GridLines Automatic
|
|
Графикчисленногорешения |
|
|
|
|||
|
|
математическоймоделииз случая 1 |
|
|
|
|||
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
1.0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0.6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0.8 |
|
|
|
|
|
|
|
СA t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.4 |
|
|
|
|
|
|
|
СB t |
0.2 |
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
t |
СP t |
Результаты аналитического и численного решения идентичны
Глядя на полученные графики, можно предположить, что для
кинетической кривой CB t характерно наличие точки локального максимума,
адля кинетической кривой CP t наличие точки перегиба графика этой функции. Выясним,
действительно ли это так и, если да, то что это за точки.
Исследуем сначала вопрос о существовании на
промежутке 0; точек локального экстремума функции СB t
4 Лаб. работа5.2.1.nb
In[11]:= CA0 .; k1 .; k2 .;
In[12]:= CB 3
t k1 1 t k1 k2 CA0 k1
Out[12]=
k1 k2
In[13]:= d1 D CB, t FullSimplify
t k1 CA0 k1 k1 t k1 k2 k2
Out[13]=
k1 k2
Критических точек на 0; функция СB t не имеет. Исследуем вопрос
о существовании стационарных точек этой функции на указанном промежутке
In[14]:= Reduce k1 t k1 k2 k2 0, k1 k2, k1 0, k2 0 , t, Reals
Log k1
k2
Out[14]= k1 0&& 0 k2 k1 k2 k1 &&t k1 k2
Log k1
k2
In[15]:= tst
k1 k2
Log k1
k2
Out[15]=
k1 k2
Cтационарная точка функции СB t на промежутке 0; существует и единственна,
|
|
|
Log |
k1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
при этом tst |
k1 k2 |
. Выясним, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
k2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
является ли она точкой локального экстремума для этой функции. |
||||||||||||||
In[16]:= |
Reduce |
|
k1 t |
k1 k2 |
|
k2 0, k1 0, k2 |
0, k1 |
k2 |
|
, t, Reals |
k1 |
||||
|
|
k1 |
k2 |
Log k1 |
|
|
|
Log |
|
||||||
Out[16]= |
k1 0&& |
0 k2 |
k1 |
&&t k1 kk2 2 |
|
k2 |
k1 &&t k1 kk2 2 |
|
|||||||
|
Reduce |
|
k1 t k1 |
|
k2 |
k2 0, k1 0, k2 |
|
k2 |
|
, t, Reals |
k1 |
|
|||
In[17]:= |
|
0, k1 |
|
||||||||||||
|
|
k1 |
k2 |
|
Log k1 |
k2 |
|
Log |
|
||||||
Out[17]= |
k1 0&& |
0 k2 |
k1 |
&&t k1 kk2 2 |
k1 &&t k1 kk2 2 |
|
|||||||||
|
При |
t tst функция |
СB t имеет локальный |
максимум |
|
|
Лаб. работа5.2.1.nb 5
In[18]:= tmax tst
Log k1
k2
Out[18]=
k1 k2
In[19]:= CB max CB . t tmax FullSimplify
k2 k1 k1 k2
Out[19]= CA0 k2
Единственная точка локального максимума кинетической кривой СB t
In[20]:=
Out[20]=
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Log |
k1 |
|
|
|
|
|
k1 |
|
|
|
|
k2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Исследуем |
tmax,CB max |
|
|
|
|
;CA0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
это точка |
|
|
|
|
|
|
|
k2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k1 |
k2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вопрос о наличии точек перегиба графика функции СP |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
t |
.Из третьего уравнения dСP |
|
t |
|
dt k2СB |
|
t |
|
исходной системы ДУ следует, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
что dСP |
|
t |
|
dt 0 при |
t 0, т. е. функция СP |
|
t |
|
|
|
строго возрастающая при t |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0. Продифференцировав это уравнение по t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
t . Из |
|
|
|
|
|
|
t |
|
k2 |
СB' |
|
t |
|
. Отсюда следует, что |
|
СP'' |
t |
существует при t |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
получаем СP'' |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 и СP'' t |
|
|
и СB' |
|
t |
|
|
обращаются в нуль при одном и том же значении t |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
max |
P'' |
|
|
|
|
предыдущих исследований функции СB |
|
|
t |
|
ясно, |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
что С |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и С |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Итак, |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 при t t |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
eдинственная точка перегиба функции С |
P |
|
|
t |
|
|
|
|
|
это точка tmax. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CP 4
CA0 1 t k2 k1 1 t k1 k2
k1 k2
Out[21]= |
CA0 |
1 |
k1 |
k1 2k2 |
|
k1 |
k1 |
k2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
In[21]:= |
CPchange |
|
CP |
|
. t tmax |
|
|
FullSimplify |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
k1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k2 |
|
|
|
|
k2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Единственная точка |
|
перегиба графика кинетической кривой СP |
t это точка |
|
tmax,CPchange |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
Log |
|
k1 |
|
|
|
|
|
k1 |
|
|
k2 |
|
|
k1 |
|
|
k1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
k2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
Изучим |
|
|
1 |
k2 |
|
k1 k2 |
k2 |
|
k1 |
|
k2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
k1 |
k2 |
;CA0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
зависимость координат точки максимума |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
кинетической кривой СB |
t |
|
и координат точки перегиба графика |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
кинетической кривой |
|
|
|
от отношения значений констант скоростей |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
СP t |
|
|
|
|
6 Лаб. работа5.2.1.nb
t k1 1 t k1 k2 CA0 k1
In[22]:= cB CA0_, k1_, k2_, t_ : k1 k2
In[23]:= Plot cB 1, 1, 0.1, t , cB 1, 1, 0.25, t , cB 1, 1, 0.5, t , cB 1, 1, 1.01, t , cB 1, 1, 2, t ,
t, 0, 10 , PlotRange Full,
PlotStyle Thickness 0.01 , Dotted, Thickness 0.02 , RGBColor 1, 0, 0 ,
Dashed, Thickness 0.02 , RGBColor 0, 1, 0 ,
DotDashed, Thickness 0.02 , RGBColor 0.1, 0.1, 0.1 ,
Thickness 0.02 , RGBColor 0.3, 0.3, 0.3 , PlotLabel "Ход кинетических кривых
промежуточного продукта
при различных отношениях k2 k1", AxesLabel "t", "С" , PlotLegend
"cB 1,1,0.1,t ", "cB 1,1,0.25,t ", "cB 1,1,0.5,t ", "cB 1,1,1.01,t ", "cB 1,1,2,t " ,
LegendPosition |
|
0.6, 0.5 |
|
, GridLines Automatic |
|
||
|
|
Ходкинетическихкривых |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
промежуточногопродукта |
|
|
|||
С |
приразличныхотношениях k2 k1 |
|
|
||||
0.6 |
|
|
|
|
|
|
|
0.4 |
|
|
|
|
|
|
|
0.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
6 |
8 |
t |
|
|
|
10 |
cB 1,1,0.1,t
cB 1,1,0.25,t
cB 1,1,0.5,t
cB 1,1,1.01,t
cB 1,1,2,t
Лаб. работа5.2.1.nb 7
CA0 1 t k2 k1 1 t k1 k2
In[24]:= cP CA0_, k1_, k2_, t_ : k1 k2
In[25]:= Plot cP 1, 1, 0.1, t , cP 1, 1, 0.25, t , cP 1, 1, 0.5, t , cP 1, 1, 1.01, t , cP 1, 1, 2, t ,
t, 0, 10 , PlotRange Full,
PlotStyle Thickness 0.01 , Dotted, Thickness 0.02 , RGBColor 1, 0, 0 ,
Dashed, Thickness 0.02 , RGBColor 0, 1, 0 ,
DotDashed, Thickness 0.02 , RGBColor 0.1, 0.1, 0.1 ,
Thickness 0.02 , RGBColor 0.3, 0.3, 0.3 , PlotLabel "Ход кинетических кривых
конечного продукта
при различных отношениях k2 k1", AxesLabel "t", "С" , PlotLegend
"cP 1,1,0.1,t ", "cP 1,1,0.25,t ", "cP 1,1,0.5,t ", "cP 1,1,1.01,t ", "cP 1,1,2,t " ,
LegendPosition |
|
0.6, 0.5 |
|
, GridLines Automatic |
|
||
|
|
Ходкинетическихкривых |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
конечногопродукта |
|
|
||
1.0С |
приразличныхотношениях k2 k1 |
|
|
||||
0.8 |
|
|
|
|
|
|
|
0.6 |
|
|
|
|
|
|
|
0.4 |
|
|
|
|
|
|
|
0.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
6 |
8 |
t |
|
|
|
10 |
cP 1,1,0.1,t
cP 1,1,0.25,t
cP 1,1,0.5,t
cP 1,1,1.01,t
cP 1,1,2,t