Degtyarenko_dlya_studentov_II_kursa_2013 / Детерминир. модели / Детерм. мод. - лаб. работы / Лаб. раб. 5 / Решенные лекционные задачи / Лаб. работа5.2

1.2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ РЕАКЦИИ

Случай 2

Уравнение кинетической кривой для исходного реагента А

In[1]:= CA CA0 Exp k1 t

Out[1]= t k1 CA0

Аналитический способ нахождения кинетической кривой для промежуточного продукта B при помощи встроенной функции DSolve системы Mathematica

In[2]:= CB DSolve СB ' t k1 CA k2 СB t , СB 0 CB0 , СB t , t FullSimplify

t k1 k2 t k2 CA0 k1 t k1 CA0 CB0 k1 CB0 k2

Out[2]= СB t k1 k2

t k1 k2 t k2 CA0 k1 t k1 CA0 CB0 k1 CB0 k2

In[3]:= CB

k1 k2

t k1 k2 t k2 CA0 k1 t k1 CA0 CB0 k1 CB0 k2

Out[3]=

k1 k2

Аналитический способ нахождения кинетической кривой для конечного продукта P при помощи уравнения материального баланса

In[4]:= CP CA0 CB0 CP0 CA CB FullSimplify

CA0 1 t k2 k1 1 t k1 k2

Out[4]= 1 t k2 CB0 CP0 k1 k2

Итак, получено аналитическое решение прямой кинетической задачи,

рассматриваемой в случае 2.

Представим графически полученные для случая 2 результаты. Приведем графики кинетических кривых для всех участников реакции при определенных числовых значениях констант скоростей последовательных стадий и начальных концентрациий исходных веществ

2 Лаб. работа5.2.2.nb

In[5]:= CA0 1; CB0 0.5; CP0 0.2; k1 0.2; k2 0.1;

In[6]:= Needs "PlotLegends`"

In[7]:= Plot CA, CB, CP , t, 0, 30 , PlotRange Full,

PlotStyle Thick, Thickness 0.01 , Dashed, Thickness 0.02 , RGBColor 1, 0, 0 ,

DotDashed, Thickness 0.02 , RGBColor 0, 1, 0 , PlotLabel "Решение прямой кинетической задачи для последовательной реакции первого порядка

в случае 2", AxesLabel "t", "С" , PlotLegend "СA t ", "СB t ", "СP t " , LegendPosition 1.3, 0.5 , GridLines Automatic

Найдем в случае 2 численное решение исходной системы

ДУ с системой соответствующих начальных условий, если t 0;30 ,

при указанных выше числовых значениях констант скоростей последовательных стадий и начальных концентраций исходных веществ. Сравним графики численного решения и решения, полученного аналитическим путем.

In[8]:= CA .; CB .; CP .

In[9]:= sol NDSolve CA ' t k1 CA t , CB ' t k1 CA t k2 CB t ,

CP ' t k2 CB t , CA 0 CA0, CB 0 CB0, CP 0 CP0 , CA, CB, CP , t, 0, 30

Out[9]= CA InterpolatingFunction 0., 30. , ,

CB InterpolatingFunction 0., 30. , , CP InterpolatingFunction 0., 30. ,

Лаб. работа5.2.2.nb 3

In[10]:= Plot CA t . sol 1 , CB t . sol 1 , CP t . sol 1 ,

t, 0, 30 , PlotLabel "График численного решения

математической модели из случая 2", AxesLabel "t", "С" , PlotRange Full, PlotStyle Thick, Thickness 0.01 , Dashed, Thickness 0.02 , RGBColor 1, 0, 0 ,

DotDashed, Thickness 0.02 , RGBColor 0, 1, 0 ,

PlotLegend "СA t ", "СB t ", "СP t " , LegendPosition 1.3, 0.5 ,

GridLines Automatic

Результаты аналитического и численного решения идентичны

Глядя на полученные графики, можно предположить, что для

кинетической кривой CB t характерно наличие точки локального максимума,

адля кинетической кривой CP t наличие точки перегиба графика этой функции. Выясним,

действительно ли это так и, если да, то что это за точки.

In[11]:= CA0 .; CB0 .; CP0 .; k1 .; k2 .;

Исследуем сначала вопрос о существовании на

промежутке 0; точек локального экстремума функции СB t

In[12]:= CB 3

t k1 k2 t k2 CA0 k1 t k1 CA0 CB0 k1 CB0 k2

Out[12]=

k1 k2

In[13]:= d1 D CB, t FullSimplify

t k1 k2 t k2 CA0 k21 t k1 k2 CA0 CB0 k1 CB0 k2

Out[13]=

k1 k2

Критических точек на 0; функция СB t не имеет. Исследуем вопрос

о существовании стационарных точек этой функции на указанном промежутке

4 Лаб. работа5.2.2.nb

Log CA0 k1 k2 CB0 k1 k2 CB0 k22 CA0 k21

In[15]:= tst FullSimplify

k1 k2

Log k2 CA0 CB0 k1 CB0 k2 CA0 k21

Out[15]=

k1 k2

Cтационарная точка функции СB t на промежутке 0; существует и единственна,

Лаб. работа5.2.2.nb 5