Degtyarenko_dlya_studentov_II_kursa_2013 / Детерминир. модели / Детерм. мод. - лаб. работы / Лаб. раб. 5 / Решенные лекционные задачи / Лаб. работа5

1.4. ПРОСТЕЙШАЯ АВТОКАТАЛИТИЧЕСКАЯ РЕАКЦИЯ

Решение задачи Коши относительно функции x t

при помощи встроенной функции DSolve системы Mathematica

In[1]:= sol1 DSolve x' t k CA0 x t CB0 x t , x 0 0 , x t , t FullSimplify

Solve::ifun :

Inverse functions are being used by Solve, so some solutions may not be found; use Reduce for complete

solution information.

1 k t CA0 CB0 CA0 CB0

Out[1]= x t

CA0 k t CA0 CB0 CB0

Решение задачи Коши относительно функции x t при помощи

метода разделения переменных с последующим интегрированием

In[2]:= intu Integrate 1 CA0 u CB0 u , u

Log u CA0 Log u CB0

Out[2]=

CA0 CB0

In[3]:= intx intu . u x

Log x CA0 Log x CB0

Out[3]=

CA0 CB0

In[4]:= int0 intu . u 0

Log CA0 Log CB0

Out[4]=

CA0 CB0

In[5]:= int intx int0 FullSimplify

Log CA0 Log x CA0 Log x CB0 Log CB0

Out[5]=

CA0 CB0

In[6]:= Solve int k t, x FullSimplify

1 k t CA0 CB0 CA0 CB0

Out[6]= x

CA0 k t CA0 CB0 CB0

1 k t CA0 CB0 CA0 CB0

In[7]:= x

CA0 k t CA0 CB0 CB0

1 k t CA0 CB0 CA0 CB0

Out[7]=

CA0 k t CA0 CB0 CB0

Итак, аналитическое решение прямой кинетической задачи для автокаталитической реакции,

имеет следующий вид

In[8]:= CA CA0 x FullSimplify

CA0 CA0 CB0

Out[8]=

CA0 k t CA0 CB0 CB0

2 Лаб. работа5.4.nb

In[9]:= CB CB0 x FullSimplify

k t CA0 CB0 CB0 CA0 CB0

Out[9]=

CA0 k t CA0 CB0 CB0

Представим графически полученные результаты. Приведем графики функции x t ,

кинетических кривых для веществ А и В при определенных числовых значениях константы скорости лимитирующей стадии и начальных концентраций веществ А и В

In[10]:= k 0.2; CA0 0.8; CB0 0.001;

In[11]:= Needs "PlotLegends`"

In[12]:= Plot x, t, 0, 100 , PlotRange Full, PlotStyle Thick, RGBColor 1, 0, 0 ,

PlotLabel "График функции x t ", AxesLabel "t", "x" , GridLines Automatic

Графикфункции x t

x

0.8

0.6

Out[12]=

0.4

0.2

t

In[13]:= Plot CA, CB , t, 0, 100 , PlotRange Full,

PlotStyle Thick, Dashed, Thickness 0.015 , RGBColor 1, 0, 0 , PlotLabel "Графики функций СA t ,СB t ", AxesLabel "t", "С" ,

PlotLegend "СA t ", "СB t " , LegendPosition 1.3, 0.5 , GridLines Automatic

Глядя на первый график, можно предположить, что функция x t

монотонно возрастает и имеет единственную точку перегиба при t 0. Выясним, действительно ли это так.

In[14]:= CA0 .; k .; CB0 .;

Лаб. работа5.4.nb 3

In[15]:= d1 D x, t FullSimplify

k t CA0 CB0 k CA0 CB0 CA0 CB0 2

Out[15]=

CA0 k t CA0 CB0 CB0 2

Действительно, первая производная от функции x t строго положительна на 0; . Следовательно, эта функция строго возрастает на указанном промежутке

In[16]:= d2 D d1, t FullSimplify

Log CA0

CB0

Out[19]= k 0&& CA0 0 &&CB0 0&&t k CA0 k CB0

Log CA0

CB0

In[20]:= tchange

k CA0 k CB0

Log CA0

CB0

Out[20]=

k CA0 k CB0

In[21]:= xchange x . t tchange

4 Лаб. работа5.4.nb