4сем / Функциональный анализ и интегральные уравнения (4-5 семестр)Курс лекций (ВИ Белько) / Лекция12_etc
.pdf
Теорема 2. Если A – самосопряженный
компактный оператор в гильбертовом пространстве H, то существует инвариантное подпространство L H такое, что в L есть счетный базис,
состоящий из собственных векторов
оператора A с ненулевыми
собственными значениями, а на
ортогональном дополнении L оператор
A нулевой.
Пусть ek – базис в пространстве H, состоящий из собственных векторов оператора A с собственными значениями
k. Если
x xk ek
k1
–разложение x H в ряд Фурье по этой
системе, то действие оператора A задается простой формулой:
Ax k xk ek
k 1
которая позволяет определить функции от оператора
def |
|
f ( A)x |
f ( k )xk ek |
|
k 1 |
Оператор f(A) определен для функций, заданных и ограниченных на множестве собственных значений { k}. В частности, если – регулярное значение для оператора A, то определена резольвента оператора
|
1 |
|
|
( A I ) 1 x |
xk ek (1) |
||
k |
|||
k 1 |
|
Формула (1) позволяет явно выписать решение уравнения Ax- x=y для регулярного значения :
|
1 |
|
|
x |
yk ek |
||
k |
|||
k 1 |
|
где yk=(y, ek) – коэффициенты Фурье элемента y.