6. Предельный переход под
знаком интеграла
Из определения интеграла Лебега
следует: при равномерной
сходимости функциональной
последовательности интеграл
предела равен пределу интегралов элементов последовательности.
Действительно, пусть
fn (x) f (x) при n
0 N : n N fn (x) f (x)
И значит f (x) fN (x)
Тогда из свойства 6 следует, что f –
интегрируема.
И, кроме того, тогда
f (x)d fn (x)d fn (x) f (x)d |
||
X |
X |
X |
sup fn (x) f (x) ( X ) 0, n
X |
■ |
|
В случае точечной сходимости
последовательности fn переходить к пределу под знаком интеграла нельзя.
Пример 1. Пусть, например,
|
|
2n, |
1 |
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2n |
n |
|||||
|
|
|
|||||
fn |
(x) |
|
|
||||
0, для остальных x |
|||||||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда fn (x)d 1
[0,1]
но fn (x) 0 точечно
Пример 2. Следующий пример
показывает, что при точечной
сходимости предельная функция
может оказаться неинтегрируемой
|
|
1 |
, x |
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
n |
|
||||
|
|
|
|
|
||||
fn |
(x) |
x |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
0, x |
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
n |
|
|||
fn (x) 1x точечно на ]0,1]
При этом функция 1/x не
интегрируема на ]0,1]
Упражнение 1. Доказать по
определению, что функция 1/x –
неинтегрируема.
Свойство 9 интеграла Лебега
является предельным случаем следующего свойства абсолютной непрерывности
Теорема 1 (абсолютная непрерывность интеграла Лебега). Пусть f – интегрируемая функция. Тогда
0 0 : ( A) f (x)d
A
Доказательство проводится сначала для простой функции, затем
для произвольной интегрируемой.
Следствие (ζ-аддитивность интеграла Лебега). Пусть f –
|
интегрируемая функция и |
|
|||
|
A Ak |
||||
|
|
|
|
|
|
|
где Ak –измеримые |
|
k 1 |
||
|
|
|
|||
|
множества. Тогда |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f (x)d f (x)d |
|
|
|||
|
A |
k 1 A |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
Справедливо и утверждение, обратное к следствию:
|
|
Теорема 2. Пусть |
A Ak |
|
k 1
Функция f интегрируема на каждом
Ak и |
следующий ряд |
сходится |
|||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
k 1 A |
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда функция f интегрируема на |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
всем A и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x)d f (x)d |
|
|||
|
|
|
A |
k 1 A |
|
||
|
|
|
|
|
|
k |
|
В следующих трех теоремах
формулируются дополнительные условия, при которых допустим предельный переход под знаком интеграла в случае сходимости
почти всюду.
Теорема 3 (Лебег). Пусть
последовательность измеримых
функций fn почти всюду сходится к функции f и пусть существует
интегрируемая функция φ такая,
что почти всюду |
fn |
(x) (x) |
|
Тогда функция f интегрируема и
f (x)d lim fn (x)d |
|
X |
n X |
Из условия теоремы (неравенство)
и свойства 6 интеграла Лебега
следует, что все fn интегрируемы, а из лекции …, что f измерима. Так как 
то функция f интегрируема
Нам необходимо доказать, что
0 n( ) : n n( )
f (x)d fn (x)d |
|
X |
X |
По свойству абсолютной непрерывности интеграла
выберем δ>0 такое, что если |
|
μ(A)<δ, то |
(x)d / 3 |
|
|
|
A |
Тогда выполняются также неравенства: f (x) d / 3
A
fn (x) d / 3
A
Далее используем теорему Егорова
и по δ>0 находим множество
X |
|
X , |
( X \ X |
|
) |
|
|
|
|
и на множестве Xδ последовательность fn сходится равномерно
Выберем номер n(ε) так, чтобы для
n>n(ε) выполнялось |
|
|||||
sup |
|
f (x) fn |
(x) |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
||||
|
|
3( X ) |
||||
X |
|
|
|
|||
Тогда для n>n(ε) имеем
f (x)d fn (x)d |
|
|
f (x) fn (x) |
|
d |
||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
X |
X |
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
f (x) |
|
d |
|
fn (x) |
|
d |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
X \ X |
|
|
|
|
X \ X |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
m( X ) |
|
3 |
|||||||||||||
|
|
3 ( X ) |
3 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
■ |
Теорема 4 (Леви). Пусть
f1 (x) ... fn (x) fn 1 (x) ...
монотонно неубывающая последовательность
интегрируемых функций и пусть существует постоянная C такая, что
fn (x) d C
X
Тогда почти всюду у
последовательности fn(x)
существует конечный предел f(x) и
f (x)d lim fn (x)d |
|
X |
n X |