4сем / Функциональный анализ и интегральные уравнения (4-5 семестр)Курс лекций (ВИ Белько) / Лекция12_etc
.pdf§…Теория Рисса-Шаудера уравнений с компактными операторами
При исследовании интегральных уравнений 2-го рода Фредгольм получил ряд теорем, заведомо не имеющих места для произвольных уравнений. В дальнейшем Ф.Рисс и Ю.Шаудер показали, что особые свойства этого класса уравнений вытекают из компактности интегральных операторов, и построили общую теорию уравнений с компактными операторами.
Пусть X – банахово пространство, K – компактный линейный оператор. Рассмотрим четыре уравнения: два в пространстве X :
x – Kx = y |
(1) |
x – Kx = 0 |
(2) |
и два в пространстве X´ :
f – K´f = g |
(3) |
f – K´f = 0. |
(4) |
Заметим, что Ker(I-K) – пространство решений однородного уравнения (2), Im(I-K) – множество y, для которых уравнение (1) имеет решения.
Теорема 1. Если K – компактный оператор, то подпространства Ker(I-K) и Ker(I-K´) конечномерны, а Im(I-K) и Im(I-K´) – замкнуты.
Доказательство. На подпространстве Ker(I-K) имеем Kx=x, т.е. оператор K действует как тождественный. Но тождественный оператор является компактным только в случае конечномерного пространства. Значит, Ker(I-K) конечномерно.
Так как K´ – компактный оператор, то приведенное выше рассуждение относится и к Ker(I-K´).
Обозначим L= Ker(I-K). Согласно теореме 0, существует разложение в прямую сумму X=L M. Обозначим через B сужение оператора A=I-K на M. Если Bx=0, то x M L и, значит, x=0.
Таким образом, Ker B={0}, т.е. B – инъективный оператор;
по построению Im B=Im A. Значит, существует обратный оператор
B-1: Im A M.
Покажем, что оператор B-1 ограничен. Предположим противное. Тогда существует
последовательность xn M такая, что
||Axn|| 0 и ||xn||=1.
Так как последовательность (xn) ограничена, то (Kxn) – предкомпактное множетсво и, значит, существует подпоследовательность (Kxnk), которая сходится в M к точке x0. Но тогда
xnk Axnk Kxnk x0 M
В силу непрерывности A имеем
Axnk Ax0
и так как
Axnk 0 по условию, то Ax0=0. Значит, x0 L M, т.е. x0=0.
Но так как ||xnk||=1, получаем противоречие.
Таким образом, оператор B-1 ограничен, т.е. справедлива оценка
||x|| c∙||Bx|| |
x M |
(1) |
Из оценки (1) получаем замкнутость образа ImA. Пусть yn=Axn – последовательность элементов из ImA и yn y0. Покажем, что y0 ImA. Из неравенства (1) получим
||xn-xm|| c∙||Axn-Axm||=c∙||yn-ym|| 0, n, m , т.е. (xn) – посл-сть Коши.
Пространство X полное, значит, xn x0. Тогда, переходя к пределу, получаем y0= Ax0, т.е. y0 Im A. Так как K´ компактный оператор, то предыдущее рассуждение справедливо для оператора I-K´. ■
Теорема 2. Для того, чтобы уравнение x – Kx = y имело решение при любом данном y необходимо и достаточно, чтобы f(y)=0 для любого функционала f, удовлетворяющего
однородному сопряженному
уравнению f – K´f = 0.
По следствию 1 из Теоремы 2
§ «Сопряженные операторы» и
поскольку по Теореме 1 образ оператора Im(I-K) замкнут, получаем требуемое ■
Теорема 3. Для разрешимости неоднородного уравнения x-Kx=y
при любом y необходимо и достаточно чтобы однородное уравнение x-Kx = 0 имело только нулевое решение.
Необходимость. Предположим противное: I-K отображает X на все X, но
N1=Ker (I-K)≠{0}.
Тогда имеет место цепочка строгих включений
N1 N2 …Nk …,
где Nk обозначает ядро оператора (I-K)k.
Действительно, для любого ненулевого x1 N1 уравнение (I -K)x=x1
имеет решение x2 N1, причем
(I-K)2x2=(I-K)x1=0 x2 N2
N1 N2 строго. И так далее.
Тогда из леммы о почти перпендикуляре
вытекает существование последовательности
(zk Nk\ Nk-1), лежащей на единичной сфере, || zk ||=1,
причем для нее выполняется условие: ||zk-x|| ≥ ½ для любого x Nk-1
Рассмотрим последовательность Kzk: Поскольку (zk) ограничена, а оператор K компактен, (Kzk) будет предкомпактна, и из нее можно выбрать подпоследовательность Коши.
С другой стороны, при m > n
|| Kzn- Kzm || =
=|| zm – ((I-K)zm - (I-K)zn+ zn) || = =|| zm-w || ≥ 1/2,
поскольку w = (I-K)zm - (I-K)zn+ zn ,
и тогда w Nm-1
Значит, из последовательности (Kzk) нельзя выбрать подпоследовательность Коши. Полученное противоречие указывает на то, что предположение
Ker (I-K)≠{0} неверно.