Скачиваний:
12
Добавлен:
01.03.2016
Размер:
390.14 Кб
Скачать

Определение. Кольцо множеств называется ζ-кольцом, если оно замкнуто относительно операции счетного объединения множеств.

Определение. Алгебра называется ζ- алгеброй, если она замкнута относительно операции счетного объединения множеств.

2. Лебеговское

продолжение меры

Более совершенную конструкцию продолжения меры предложил Анри Лебег. Вместо покрытия данного множества конечным набором непересекающихся элементарных множеств, Лебег использовал

бесконечные счетные наборы для покрытий.

При этом оказывается, что если исходная мера, заданная на элементарных множествах, σ-аддитивна, то и продолжение этой меры на класс измеримых множеств

обладает свойством счетной аддитивности.

Определение. Мера, заданная на кольце (полукольце) K называется

сигма-аддитивной если :

 

 

A Ai , A K, Ai K m( A) m( Ai )

i 1

i 1

 

 

То, что данное дополнительное свойство меры было выделено не случайно, показывает следующая

Теорема 1. Длина является сигмааддитивной мерой на полукольце S полуинтервалов вида [a,b[.

 

 

 

 

 

 

Дано : A [a,b[, Ak [ak ,bk [, A Ak

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

Доказать: m( A) b a (bk

ak ) m( Ak )

 

k 1

 

 

k 1

 

 

 

 

 

n

 

n

 

 

 

n Ak [a,b[

 

m( Ak ) b a

m( Ak ) b a

k 1

 

k 1

 

k 1

 

Итак, в одну сторону неравенство доказано. Монотонность меры и свойства ряда с неотрицательными слагаемыми).

Докажем обратное неравенство.

0 определимB

]a

 

 

 

,b [, B [a,b

 

]

 

2k 1

2

k

 

k

 

k

 

 

 

 

 

 

Тогда B A Ak Bk

k 1 k 1

Итак, отрезок покрыт B бесконечной системой открытых интервалов Bk. По лемме Бореля о покрытии из бесконечного открытого покрытия можно выделить конечное подпокрытие:

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

n такое, что

B Bk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

n

 

 

то есть b

a (bk ak

 

)

(bk

ak )

)

2k 1

 

 

2

k 1

 

 

k 1

 

2

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b a (bk

ak ) (bk

ak )

 

 

 

 

k 1

 

k 1

 

 

 

 

 

 

отсюда в силу произвольности ε получаем требуемое неравенство:

 

 

b a (bk

ak )

k 1

 

Пример меры, заданной на стандартном полукольце S полуинтервалов, лежащих в [0,1[, но не совпадающей с длиной.

Пусть F монотонно неубывающая

ограниченная функция, заданная на отрезке [0,1].

Определим на полукольце S полуинтервалов, лежащих в [0,1[ отображение

m: S → R: mF([a,b[)=F(b)-F(a).

Докажите, что это мера.

Если в качестве F взять функцию:

0, x [0,1), F (x) 1 , x [1, [;

получим пример не σ-аддитивной меры.

Чтобы убедиться, что построенная мера не ζ- аддитивна, достаточно вычислить меру mF от обеих частей равенства:

 

n 1

 

 

n

 

[0,1[ [

 

,

[

n

 

n 1

 

n 1

Далее, будем систематически строить продолжение по Лебегу σ-аддитивной меры, заданной на полукольце элементарных множеств.

Теорема 2. Пусть на полукольце S задана мера m. Пусть K(S) – минимальное кольцо, порожденное полукольцом. Тогда на K(S) существует единственная мера μ, являющаяся продолжением меры m. Если m ζ-аддитивна, то и μ является ζ- аддитивной.

Доказательство конструктивное: см. утверждение 1.

Что такое продолжение – мера μ задана на более широком множестве и совпадает с исходной мерой m на исходном (более узком) множестве.

Теорема 3. (Счетная полуаддитивность меры.) Пусть на кольце K задана ζ- аддитивная мера. Тогда

 

 

 

 

 

A, Ak K

если

A Ak

, то ( A) ( Ak )

 

 

k 1

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

определим Bn ( A An ) \ Ak , Bn

K

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

тогда

Bn An и A Bn

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

( A) Bn An

 

 

n 1

n 1

 

 

Доказанная теорема позволяет выделить класс множеств, меру которых естественно считать раной нулю.

Определение. Пусть на кольце K задана ζ-аддитивная мера.

K Ρ(X )

Тогда множество A, лежащее в X, называется множеством меры нуль, если

 

 

 

 

0

Ak K :

A Ak ,

( Ak )

 

 

k 1

k 1

Таким образом, сразу получаем класс множеств, для которых определена мера.

Примеры для стандартного кольца на числовой прямой (если мера – длина).

1.Точка.

2.Множество Q рациональных чисел (в частности, множество точек разрыва функции Римана).

3.Множество Кантора (несчетное).

Упражнение 7. Счетное объединение множеств меры нуль само является множеством меры нуль (кольцо – произвольное)

Последнее определение является прототипом для конструкции внешней меры Лебега.

Далее (если явно не указано обратное)

будем считать, что исходная σ-аддитивная мера m задана на алгебре K (X K). Причем мера m конечная: m(X )

Определение. Пусть на алгебре K задана конечная ζ-аддитивная мера m. Тогда

внешней мерой (Лебега) множества A из X

называется:

 

 

 

 

 

* ( A) inf

m( Ak ), Ak K

 

A Ak

 

 

i

 

 

 

 

Сравните с внешней мерой Жордана.

Определение. Внутренней мерой множества

A из X называется:

*( A) m( X ) * ( X \ A)

Внешняя мера – точная оценка сверху меры множества A. Внутренняя мера – оценка снизу меры множества A (или оценка сверху меры его дополнения). В итоге можно выделить класс измеримых множеств:

Определение. Множество A из X

называется измеримым, если

*( A) * ( A) или

* ( A) * ( X \ A) m( X )

Если рассматривать внешнюю меру на всех подмножествах множества X, то она не обладает свойством аддитивности, то есть не является мерой.

(Внешняя мера обладает лишь счетной

полуаддитивностью)

Но ее сужение на класс измеримых множеств L(K,m) есть ζ-аддитивная мера μ.

 

 

 

 

 

 

* ( A) * ( X \ A) m( X )

 

 

 

 

Теорема 4. Внешняя

мера, рассматриваемая на

 

 

всех подмножествах множества X, является

 

 

счетно-полуаддитивной:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A, Ak X

если A Ak , то

* ( A) * ( Ak )

 

 

 

k 1

k 1

если Ak K

то неравенство следует из определения внешней меры. Пусть Ak произвольные множества из X.

* ( Ak )

inf m(Bki )

 

Ak Bki

Для ε>0 выберем такое iпокрытие множеств Ak элементарными множествами Bki, что

* ( Ak ) m(Bki ) * ( Ak ) 2 k

 

i

 

Ak

Bki

A Bki

k

k ,i

k ,i

поскольку Bki – элементарные множества, получаем:

 

 

* ( A) m(Bki ) * ( Ak )

k ,i

k 1

отсюда в силу произвольности ε>0 получаем требуемое неравенство:

 

 

* ( A) * ( Ak )

k 1

 

 

 

 

 

Следствие 1.

 

A X

*( A) * ( A)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X A (X \ A)

* ( X ) m( X ) * ( A) * ( X \ A)

 

 

*( A) m( X ) * ( X \ A) * ( A)

 

 

 

 

 

 

Следствие 2. Для любых A, B из X справедливо

 

неравенство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

* (A) * (B)

 

* (A B)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поскольку A B ( A B)

по теореме 4 имеем:

* ( A) * (B) * ( A B)

* ( A) * (B) * ( A B)

Поменяв местами A и B, получаем:

* (B) * ( A) * ( A B)

Упражнение 8. ( X \ A) ( X \ B) A B

Соседние файлы в папке Функциональный анализ и интегральные уравнения (4-5 семестр)Курс лекций (ВИ Белько)