Теорема о проекции.
Лемма 1. Ортогональное
дополнение к любому множеству
является замкнутым векторным
подпространством в H, где H – предгильбертово пространство.
Для любого вектора x из H обозначим
через Lx его ортогональное |
||
дополнение |
Lx |
{y H : (x, y) 0} |
|
y1 , y2 Lx y1 y2 Lx
значит, Lx – подпространство.
yn Lx , yn y y Lx
достаточно перейти к пределу в
равенстве (x,yn)=0.
M Lx
x M
значит, M – счетное пересечение замкнутых подпространств и само является замкнутым
подпространством.
Определение ортогональной и ортонормированной системы векторов.
Теорема 1. (Пифагор)
Определение. Пусть L –
подпространство в предгильбертовом
пространстве H. Проекцией вектора x
на L называется вектор y из L такой,
что (x y,l) 0 l L
Пример. Пусть H = C[0,1] со скалярным
произведением, определяемым как
интеграл произведения функций,
L=P[0,1] –
подпространство функций, которые являются многочленами (любой степени). Проекции вектора x=et на L не существует.
Лемма 2. Пусть H – гильбертово
пространство. L – его замкнутое
векторное подпространство. Тогда
для любого x из H существует в L
ближайший к x элемент (элемент наилучшей аппроксимации вектора x векторами из L), т.е. такой, что
x y inf x l x l l L
l L
Пусть d inf |
|
|
|
x l |
|
|
|||
l L |
|
|
|
|
x L d 0 |
|
|
По определению точной нижней грани
существует последовательность yn из
L такая что |
yn |
x |
d |
|
Используя тождество параллелограмма, получаем
0 yn ym 2 (x ym ) (x yn ) 2
(x ym ) (x yn ) 2 2 x yn 2 2 x ym 2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
n |
|
2 2 |
|
|
|
x y |
m |
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|
x |
yn ym |
|
|
|
|
|
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( yn ym ) / 2 L
x ( yn ym ) / 2 d
0 yn ym 2 2 x yn 2 2 x ym 2 4d 2 0
Таким образом, yn есть
последовательность Коши в полном
пространстве H. Значит, она сходится
к некоторому y из H :
x y |
|
|
|
lim |
|
|
|
x yn |
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
n |
|
|
Теорема 2 (о проекции). Пусть H –
гильбертово пространство. L – его замкнутое векторное подпространство. Тогда для любого x из H существует и
единственная его проекция на L.
Пусть x L y L:
x y |
|
|
|
d inf |
|
|
|
x l |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
l L |
|
|
|
|
Проверим, что y является проекцией.
Возьмем произвольный элемент ℓ из
L и покажем, что (x-y,ℓ)=0
t R, l L x ( y tl) 2 x y 2 d 2
Обозначим z=x-y и получим
x y tl 2 z tl 2 d 2 2t(z,l) t 2 l 2 d 2
t R : t 2 l 2 2t(z,l) 0
Последнее неравенство невозможно,
если (z,ℓ)≠0. Таким образом, (z,ℓ)=0.
Докажем единственность проекции.
Ортонормированные
системы в гильбертовом пространстве.
Пусть (en) – ортонорм. система в
гильбертовом пространстве H.
Предположим, что вектор x можно представить в виде ряда:
x ck ek
k 1
Умножим скалярно равенство на en:
(x, en ) ck (ek , en ) cn
k 1
Определение. Число cn называется
коэффициентом Фурье вектора x по
ортонормированной системе.
Упражнение 1. Докажите, что
любая ортонормированная
система линейно независима.
Теорема 1. Пусть (en) – ортонорм. система в гильбертовом пространстве H, x –произвольный
вектор, ck = (x,ek). Тогда:
1) числовой ряд из квадратов коэффициентов ck сходится, причем справедливо неравенство
Бесселя: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
ck |
|
2 |
|
|
x |
|
2 |
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) ряд Фурье |
|
ck ek |
|
|
||||||||
|
сходится |
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3)сумма ряда Фурье есть проекция
элемента x на подпространство L,
порожденное системой (en).
4)элемента x равен сумме своего ряда Фурье тогда и только тогда,
когда справедливо равенство
Парсеваля-Стеклова:
|
|
|
|
|
|
|
|
ck |
2 |
|
x |
|
2 |
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. 1. Рассмотрим
частную сумму ряда Фурье
n
Sn ck ek
k 1
Проверим, что разность x-Sn
ортогональна ej ( j=1,…n):
n
(x Sn , ej ) (x, ej ) ck (ek , ej ) c j c j 0
k 1