4. Измеримые функции
Пусть X – множество, Σ – σ-алгебра измеримых подмножеств, μ – σ- аддитивная мера, заданная на Σ.
Определение. Функция F: X→R
называется измеримой, если для любого вещественного числа c
множество Ac {x | f (x) c} измеримо.
Пример 1. X = R. μ – мера Лебега. Тогда любая непрерывная функция измерима. (множество Ac
открыто как прообраз открытого множества, а значит измеримо.)
Упражнение 1. X = R. μ – мера
Лебега. Установите, будет ли
функция Дирихле измерима.
Утверждение 1. Если функция f измерима, то множество
{x | f (x) c} измеримо
Доказательство основано на следующем равенстве:
|
|
1 |
|
|
|
|
|
{x | f (x) c} x | f (x) c |
|
|
|
|
|||
k 1 |
|
k |
|
Справа имеем счетное пересечение
измеримых множеств, а оно
измеримо.
Упражнение 2. Докажите, что если
для функции f при любом c множество {x | f (x) c}
измеримо, то f – измерима.
Типы сходимости функциональных последовательностей:
1.Равномерная
2.Точечная
3.Сходимость почти всюду
(сходимость во всех точках множества за исключением множества меры нуль)
Упражнение 3. Приведите пример последовательности, сходящейся точечно, но не сходящейся
равномерно.
Теорема 1. Если последовательность fn измеримых функций сходится к
функции f точечно, то f измерима.
Утверждение теоремы следует из
равенства:
Ac x | fm (x) c 1/ k
k n m n
Определим множество
Amk x | fm (x) c 1/ k
Пусть |
x Ac |
то есть f(x)<c |
Тогда |
lim fm (x) f (x) c |
|
|
m |
|
поэтому для номеров k таких, что f(x) < c-1/k найдется номер n
такой что для любых m>n выполняется fm(x) < c-1/k
А это значит, что x |
Amk |
k n |
m n |
Обратное рассуждение: если верно
последнее включение, то найдутся
номер k и номер n такие, что для
всех m>n fm(x) < c-1/k. Переходя к пределу, получим f(x) <= c-1/k < c. ■
Следствие 1. Если последовательность измеримых функций fn(x) почти всюду сходится
к функции f(x), то f(x) измерима.
Пусть сходимость имеет место на
множестве X0 , и по условию
μ(X\ X0)=0. Тогда доказательство
следует из равенства:
Ac [Ac X 0 ] [Ac (X \ X 0 )]
Упражнение 4. Пусть функция f(x)
задана на отрезке [0,1], непрерывна и почти всюду имеет конечную производную g(x). Докажите, что g(x) измерима.
Определение. Функции f и g
называются эквивалентными (f ~ g), если они равны между собой почти всюду.
Утверждение 2. Если функция измерима, то любая эквивалентная
ей функция тоже измерима.
Определение. Функция f: X → R
называется простой, если она измерима и принимает конечное либо счетное множество значений.
Пример. Функция Дирихле –
простая.
Теорема 2. Функция f является простой тогда и только тогда, когда
X Ak , множества Ak измеримы,
k
f(x) принимает постоянное значение yk на множестве Ak
Доказательство. Пусть f – простая,
{yk} – множество ее значений и пусть
Ak x | f (x) yk
тогда
Ak x | f (x) yk \ x | f (x) yk
значит, Ak измеримо и мы получили
представление |
X Ak |
|
k
Обратно, пусть мы имеем
представление X Ak
тогда |
k |
|
Ac x | f (x) c Ak ■
yk c
Теорема 3. Для любой измеримой функции f существует равномерно
сходящаяся к ней последовательность
простых функций
Доказательство. Укажем эту
последовательность явно. Пусть fn(x)=m/n, где m/n<=f(x)< (m+1)/n, m=0,
+-1, +-2, …Множество Amn, на котором функция fn(x) принимает
постоянное значение m/n, измеримо.
По построению |
|
f (x) f (x) |
|
1 |
n |
0 |
|
|
|||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то есть последовательность fn(x)
сходится к f(x) равномерно. ■
Теорема 4. Множество простых
функций замкнуто относительно
алгебраических операций, то есть
если f и g простые функции, то
простыми будут также f+g, f-g, fg, f/g (где g не равно 0).
Доказательство. Пусть
X Ak
k |
|
|
f (x) yk |
для |
x Ak |
X Bi |
|
|
i |
|
|
g(x) zi |
для x Bi |
тогда |
X Ak |
Bi |
|
i k |
|
для |
x Ak Bi |
имеем |
( f g)(x) yk zi ( f g)(x) yk zi
и так далее. ■
Следствие. Множество всех измеримых функций замкнуто относительно алгебраических
операций.
Доказательство следует из
теоремы 3 и свойств сходящихся
числовых последовательностей.