4сем / Функциональный анализ и интегральные уравнения (4-5 семестр)Курс лекций (ВИ Белько) / Лекция8

Часть 2. Нормированные

векторные пространства.

8. Нормированные пространства.

Определение и примеры векторных пространств над полем K. Чаще всего K=R или C.

Примеры

1. Rn

4. P(x)[a,b] (все многочленыn с вещественными коэффициентами, рассматриваемые как функции на отрезке [a,b])

Определение подпространства

векторного пространства.

Упражнение 1. Укажите, пары подпространство-пространство

среди перечисленных выше.

Определение линейно независимой

системы векторов и алгебраического

базиса векторного пространства.

Упражнение 2. Укажите базис для

каждого из пространств,

перечисленных выше (кроме C[a,b]).

Утверждение 1. В любом

векторном пространстве

существует алгебраический базис.

Определение конечномерного и

бесконечномерного векторного

пространства.

Определение фактор-пространства.

Пусть L является подпространством векторного пространства X. Введем

отношение эквивалентности:

x y L

На классах эквивалентности введем

операции векторного пространства и

получим фактор-пространство X/L

Упражнение 3. Проверьте, что операции сложения векторов и умножения на скаляр корректно

определены на классах

эквивалентности.

Упражнение 4. Рассмотрим фактор-

пространство C[a,b]/P(x)[a,b].

Принадлежат ли функции exp(x) и 0

одному классу?

Определение нормы. Отображение

: X R 0 : x x

векторного пространства в множество неотрицательных вещественных чисел называется

нормой, если:

2. x x x X , K

3. x y x y

Примеры

1.Rn : евклидова норма, кубическая

норма, октаэдрическая норма

2.C[a,b] : x sup x(t)

t [ a ,b ]

3. m : x sup xk

k

Пространство L1[a,b].

Обозначим через 1[a,b] векторное пространство функций,

для которых существует интеграл

Лебега по отрезку [a,b].

Каждой функции из 1[a,b]

поставим в соответствие число:

x(t) d

[ a,b]

Проверим аксиомы нормы и

убедимся, что не выполняется

только аксиома 1 (точнее, ее часть

– невырожденность).

Построим новое векторное

пространство. Введем на 1[a,b] отношение эквивалентности:

x~y, если x(t)=y(t) почти всюду.

Множество классов эквивалентности

обозначим L1[a,b]. Получим векторное пространство, которое является фактор-пространством

1[a,b]/ M , где M – множество функций, равных нулю почти всюду. Несложно проверить, что формула

задает норму на L1[a,b].

Упражнение 5. Проверьте, что норма

на классах эквивалентности определена корректно (не зависит от выбора представителя класса).

Лемма 2 (неравенство Гельдера).

Пусть 1<p<+∞ и 1/p+1/q=1.Тогда для любых функций x(t), y(t), таких, что модуль x(t) интегрируема в степени p, модуль y(t) интегрируема в степени q,

справедливо неравенство:

x(t) y(t) d x p y q

[ a,b]

Проинтегрируем последнее

неравенство и получим:

Если x=0 или y=0, то неравенство Гельдера очевидно.

Если x 0, y 0

то построим функции

Подставим их в последнее

неравенство и получим:

Домножив его на x p y q , получим неравенство Гельдера.

Замечание. Неравенство Коши-

Буняковского является частным

случаем неравенства Гельдера.