Заметим, что последовательность
φn(x) = fn(x) – f1(x) состоит из
неотрицательных функций и удовлетворяет всем условиям теоремы. Поэтому достаточно
рассмотреть случай |
fn |
(x) 0 |
|
Зафиксируем точку x и рассмотрим числовую последовательность f1(x), f2(x),… Она возрастает и поэтому
имеет конечный или бесконечный
предел. Покажем, что для почти всех x предел конечен. Введем
множество {x lim fn (x) }
n
Докажем, что μ(Ω)=0. Возьмем
любое r >0.
Если x , то n(x) : fn (x) r
Введем множества n {x fn (x) r}
Тогда по вышесказанному n
n 1
К неотрицательной функции fn(x) применим неравенство
Чебышева (лемма 2 раздела 5):
( n ) C / r
Поскольку последовательность fn(x) монотонно возрастает, имеем
1 2 ...
тогда ( ) lim ( n ) C / r
n
Ввиду того, что r произвольно,
имеем μ(Ω)=0.
Далее с помощью теоремы Лебега
докажем, что f(x) интегрируема и возможен предельный переход под знаком интеграла.
Определим функцию φ(x):
(x) k, если x Ak ,
где Ak {x k 1 f (x) k}
Тогда fn (x) f (x) (x) f (x) 1
Докажем теперь, что функция φ интегрируема, то есть сходится ряд
k ( Ak )
k 1
Для этого достаточно доказать,
что для любого m
m
k ( Ak )
k 1
m
На множестве Bm Ak : fn (x) m
k 1
Поэтому на Bm применяем теорему
Лебега: |
f (x) d lim fn (x) d C |
Bm |
n Bm |
А поскольку |
(x) f (x) 1 |
(x) d ( f (x) 1) d C ( X ) |
|
Bm |
Bm |
Ввиду того, что m произвольно, φ(x) интегрируема на всем X и теорема
доказана. ■
Следствие. Пусть φn(x) –
последовательность
неотрицательных интегрируемых функций и пусть сходится числовой
ряд:
n (x)d
n1 X
Тогда почти всюду сходится ряд
|
|
|
|
n |
(x) и |
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
||
|
|
|
n (x)d n (x)d |
|
|
X n 1 |
n 1 X |
Упражнение 2. Докажите с помощью
следствия теоремы Леви теорему 2,
определив функции φn(x) следующим
образом:
|
|
|
f (x) |
|
, x An |
|
|
|
|||
n |
(x) |
|
|
|
|
|
0, x An |
Теорема 5 (Фату). Если
последовательность
неотрицательных интегрируемых
функций fn(x) сходится почти всюду
к f(x) и существует постоянная K такая, что
fn (x) d K
X
то функция f(x) интегрируема и
f (x) d K
X
По последовательности fn(x) введем
новую последовательность
n |
(x) inf fk (x) |
|
k n |
Функция φn(x) измерима, поскольку
Ac {x n (x) c} {x fk (x) c}
k n
Последовательность φn(x)
монотонно возрастает,
φn(x) → f(x) и n (x) fn (x)
Применяя к последовательности φn(x) теорему Леви, получаем утверждение теоремы Фату. ■
Замечание. В условиях теоремы Фату предельный переход под знаком интеграла, вообще говоря,
недопустим. Например,
рассмотрите последовательность
из примера 1 перед теоремой 1.
Упражнение 3. Приведите пример последовательности функций, которая сходится в среднем, но не сходится точечно.
|
Определение. Пусть X – |
множество |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с σ-конечной мерой μ и |
X X k |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
Измеримая функция f |
называется |
||||||||||
|
интегрируемой на X, если сходится |
|||||||||||
|
ряд |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
f (x) |
|
d |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
k 1 X |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
k |
|
|
|
|
|||||
|
|
Интегралом Лебега функции f |
||||||||||
|
|
называется число |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x)d f (x)d |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
X |
k 1 X |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
При этом интеграл не зависит от способа разбиения множества X на
множества конечной меры.
Теоремы 3-5 справедливы и для множества X σ-конечной меры.