Обратные операторы.
Определение. Пусть X,Y –
нормированные векторные пространства. A – линейный оператор, D(A) X
A замкнут, если:
xn x0 , xn D( A), Axn y0
x0 D( A), Ax0 y0
Замечание. Линейный оператор A замкнут, если его график есть замкнутое множество в пространстве X Y
Пример 1. Если A – линейный
ограниченный оператор, то он замкнут
тогда и только тогда, когда множество
D(A) замкнуто в X.
Пример 2. X=Y=C[0,1].
D(A)=C(1)[0,1], Ax(t)=x’(t)
(оператор дифференцирования).
Докажите, A что замкнут.
Теорема 2 (о замкнутом графике).
Пусть X,Y – банаховы пространства. A – линейный замкнутый оператор, D(A)=X. Тогда оператор A ограничен.
Введем на X новую норму:
x
1 
x
Ax
Докажем, что пространство X полно относительно новой нормы.
Затем, используя следствие 1 из теоремы Банаха об обратном операторе, получим неравенство:
x
1 
x
Ax
C
x
Упражнение. Докажите, что если НВ пространство разложено в прямую сумму X=Y+Z, то оператор проектирования на Y замкнут, а, значит, по теореме 2 ограничен.
Интегральные уравнения с
вырожденными и малыми ядрами.
Рассмотрим линейное интегральное уравнение 2 рода:
1
x(t) K (t, s)x(s)ds y(t)
0
Определение. Ядро интегрального уравнения называется вырожденным,
если: |
n |
|
|
K (t, s) ak |
(t)bk (s) |
||
|
|||
|
k 1 |
|
Без ограничения общности можно считать, что функции ak(t) и функции bk(s) линейно независимы. Тогда интегральное уравнение можно свести к системе линейных алгебраических уравнений.
Определение. Ядро интегрального уравнения называется достаточно малым, если для интегрального оператора
1 |
|
Ax(t) K (t, s)x(s)ds |
|
0 |
|
выполнено условие: |
A 1 |
Теорема. Пусть функция X,Y определена и непрерывна на [0,1]x[0,1].
Если |
|
1 |
|
max K (t, s)x(s)ds 1 |
|||
|
|||
|
0 t 1 |
0 |
|
|
|
||
то интегральное уравнение (*) в пространстве C[0,1] имеет единственное решение для любой правой части y(t).
Используем формулу для нормы
оператора в C[0,1] :
1
A
max K (t, s) ds
0 t 1 0
и одну из теорем об обратном операторе.
Линейные ограниченные функционалы
Теорема (Рисс). Пусть f – ограниченный функционал на гильбертовом пространстве H. Тогда существует, притом единственный, элемент u из H такой, что f(x)=(x,u) для любого x из H, причем 
f 
u
Пусть
Это векторное подпространство в H. Оно замкнуто в силу непрерывности f. Если N=H, то u=0.
Пусть N H |
|
|
|
|
По теореме о проекции u0 |
N , u0 0 |
|||
пусть x H , |
x x |
f (x) |
u |
|
|
|
|||
|
1 |
f (u0 ) |
|
0 |
так как f (x ) f (x) |
f (x) |
f (u |
) 0 |
|
|||
1 |
f (u0 ) |
0 |
|
|
|
|
|
то x1 N |
|
|
|
тогда (x ,u |
) 0 (x,u |
) |
f (x) |
|
|
u |
0 |
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
0 |
0 |
|
f (u0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f (x) (x,u), |
где u |
f (u0 ) |
u |
|
||||||||
|
0 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
u0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
существование доказано.
Единственность. Пусть есть два
таких вектора u1, u2 ...
§…Теорема Хана-Банаха о продолжении линейного функционала.
Определение 1. Пусть X – множество, (fα) – семейство отображений. Это семейство разделяет точки множества X, если:
x1 x2 X f ( f ) : f (x1 ) f (x2 )
Определение 2. Пусть L – подпространство нормированного пространства X, пусть на L задан линейный ограниченный функционал f0. Продолжением функционала f0 называется линейный ограниченный функционал f на X такой, что f(x)= f0(x) для любого x из L.
Заметим, что если f0 – продолжение f, то
f |
|
|
|
sup |
|
f (x) |
|
sup |
|
f (x) |
|
|
|
|
|
f0 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
1, x X |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
1, x L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то есть при продолжении норма не может уменьшиться. Интерес представляют такие продолжения, при которых норма не увеличивается, а, значит, не изменяется.
Проиллюстрируем эти понятия в случае гильбертова пространства H.
1) Если x1≠ x2, то для функционала |
|
f(x)=(x, x1-x2) имеем f (x1 ) f (x2 ) x1 x2 |
2 0 |
то есть линейные ограниченные функционалы разделяют точки пространства H.
2) Пусть L – подпространство H и f0 – функционал (линейный, ограниченный) на
L. Тогда по теореме Рисса f0 (x)=(x,u0), где u0 – вектор из L. Тогда формула f(x)=(x,u0) определяет линейный ограниченный функционал на H, являющийся продолжением функционала f0,
причем 
f 
f0 
