4сем / Функциональный анализ и интегральные уравнения (4-5 семестр)Курс лекций (ВИ Белько) / Лекция12_etc

Покажем, что если y C[0,1], то и x C[0,1], т.е. справедлива теорема существования в пространстве C[0,1]. Имеем

есть непрерывная функция от t, то x C[0,1]. Из этих же соображений получаем, что если решение уравнений (2) и (4) принадлежат пространству L2[0,1], то они принадлежат C[0,1]. Таким образом, решая уравнения (2), (4) в L2[0,1] и в C[0,1], получаем один и тот же набор решений и, значит, все утверждения для уравнений (1)-(4) в пространстве L2[0,1] справедливы в пространстве C[0,1].

§…Сопряженные операторы в

гильбертовом пространстве

Теорема 1. Пусть A: H→H –

самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве H. Тогда

1.Квадратичная форма (Ax,x)

принимает только вещественные

значения. Собственные значения оператора A вещественны.

2.Собственные векторы оператора A,

соответствующие различным

собственным значениям, ортогональны

3.Для любого подпространства L H, инвариантного относительно A, его

ортогональное дополнение L также

инвариантно относительно A.

Теорема 2. Пусть A: H→H –

самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве H. Тогда

1.sup|(Ax,x)| = ||A||, где ||x||=1;

2.Существует спектральное значение

оператора A такое, что | | = ||A||.

§…Спектральное разложение

самосопряженного

компактного оператора

Ненулевое собственное значение компактного самосопряженного оператора имеет конечную кратность, т.е. число линейно независимых собственных векторов, соответствующих собственному значению , конечно.

Лемма. Пусть A: H→H – компактный

самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве H. Для любого ε>0 число собственных значений, удовлетворяющих условию

| |≥ε, конечно.

Доказательство. Предположим противное. Пусть e1, e2, …, en, … – бесконечная ортонормированная последовательность, состоящая из собственных векторов с собственными значениями k, где | k|≥ε>0. Тогда множество Aek= kek как образ ограниченного множества должно быть предкомпактным. Но

Aek Aen k ek nen k 2 n2 2

Это означает, что из последовательности Aek нельзя выделить подпоследовательность Коши.

Следствие. Собственные значения

0 самосопряженного компактного оператора с учетом кратности могут быть занумерованы в последовательность 1, 2, …, n, …

так, что | k|≥| k+1| и k→0 при k→ .

Теорема 1 (Гильберт). Пусть A –

самосопряженный компактный

оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве H. Тогда в H существует полная ортонормированная система,

состоящая из собственных векторов

оператора A.

Доказательство. Для каждого ненулевого собственного значения в пространстве Ker(A- I) выберем ортогональный базис. Пусть L – подпространство в H, порожденное объединением всех выбранных базисов. Тогда L инвариантно относительно A и, значит, L также инвариантно относительно A. Сужение оператора A на L является самосопряженным компактным оператором.

Покажем, что B=A| L =0, т.е. что это нулевой оператор. Согласно теореме 2 предыдущего параграфа, существует спектральное значение оператора B такое, что | |=||B||. Предположим, что ||B|| 0, т.е. 0. Тогда по теореме !!!,

оператор B- I фредгольмов и ind(B- I)=0.

Если Ker(B- I)={0}, то Im(B- I)=L и,

значит, B- I имеет ограниченный обратный оператор. Следовательно, не является спектральным значением. Значит Ker(B-I) {0}, т.е. есть собственное значение оператора A с собственным вектором v L . Но по построению все собственные векторы с ненулевыми собственными значениями принадлежат L.

Получаем противоречие. Значит, ||B||=0 и все векторы из L являются собственными векторами оператора A с собственным значением =0. Выберем в L базис и, объединяя его с построенным ранее базисом в L, получаем базис в пространстве H, состоящий из собственных векторов оператора A. ■