4сем / Функциональный анализ и интегральные уравнения (4-5 семестр)Курс лекций (ВИ Белько) / Лекция12_etc

Достаточность. Если однородное уравнение x – Kx = 0 имеет только нулевое решение, то сопряженное неоднородное f – K´f = g разрешимо при любом g.

Только что доказанная «необходимость» применима и к оператору K´, и тогда уравнение f – K´f = 0 имеет только нулевое решение, а значит уравнение

x – Kx = y разрешимо при любом y. ■

Теорема 4. Однородные уравнения x – Kx = 0 и f – K´f = 0 имеют одинаковое число линейно независимых решений

Рассмотрим упрощенную ситуацию, когда X – гильбертово пространство.

Пусть однородные уравнения x – Kx = 0 и f – K´f = 0 имеют, соответственно, решения

x1,…,xn; f1,…fm,

которые без ограничения общности можно считать ортонормированными базисами в подпространствах Ker(I-K) и

Ker(I -K´).

(В противном случае можно воспользоваться ортогонализацией Грамма-Шмидта).

Предположим противное: например, пусть m>n, и рассмотрим оператор

n

(I S)x (I K )x (x j , x) f j

j 1

где S, очевидно, компактен, так как получается добавлением к оператору K оператора конечного ранга (x j , x) f j

Поскольку ядро Ker(I -K´) и образ Im(I-K) ортогональны , то все fj в выражении для I-S перпендикулярны любому вектору (I-K)x. Поэтому уравнение (I-S)x = 0 имеет только тривиальное решение.

Но тогда уравнение (I-S)x=fn+1 имеет ненулевое решение , т.е.

n

(I K )x (x j , x) f j fn 1

j 1

После умножения последнего равенства скалярно на fn+1 – справа получается единица, слева – нуль, потому что ядро Ker(I -K´) и образ Im(I-K) , как уже отмечалось, ортогональны друг другу. Полученное противоречие показывает, что предположение m n неверно. Аналогично рассматривается случай

m n. ■

§…Альтернатива Фредгольма для интегральных уравнений

Применим теорию Рисса-Шаудера к исследованию разрешимости интегральных уравнений

Теорема 1 (альтернатива Фредгольма для интегральных уравнений). Пусть

K(t,s) – такое ядро, что интегральный оператор с ядром K(t,s) компактен в L2[a,b]. Тогда возможны лишь два случая разрешимости уравнений (1) и

(3).

I. Однородные уравнения (2) и (4) имеют только нулевые решения; уравнения (1) и (3) разрешимы для любой правой части.

II. Уравнение (2) имеет конечное число n линейно независимых решений x1, x2, …, xn;

уравнение (4) имеет также n линейно независимых решений u1, u2, …, un; уравнение (1) разрешимо для данной функции y L2[a,b] тогда и только тогда, когда

y(t)uk (t)dt 0, k 1,2, , n (5)

[a,b]

При выполнении условия (5) общее решение уравнения (1) имеет вид

n

x x0 ck xk

k 1

где x0 – частное решение уравнения (1), ck – произвольные постоянные.

Замечание 1. Такое же утверждение справедливо в случае пространства Lp[a,b] с тем изменением, что решение сопряженного однородного уравнения нужно искать в этом случае в пространстве

Lq[a,b].