Функциональный анализ и интегральные уравнения
Множества на числовой прямой
Ограниченные, неограниченные
Конечные, счетные, несчетные.
Отрезок, интервал (в том числе неограниченный)
Окрестность точки.
Определение 1. Внутренняя точка множества.
Определение 2. Предельная точка множества.
Определение 3. Открытое множество – все точки этого множества являются внутренними.
Определение 4. Замкнутое множество – содержит все свои предельные точки.
Утверждение 1. Если множество замкнуто, то его дополнение открыто.
Утверждение 2. Если множество открыто, то его дополнение замкнуто.
Утверждение 3. Объединение любого числа открытых множеств -- открыто.
Утверждение 4. Пересечение любого конечного
числа открытых множеств -- открыто.
Утверждение 5. Пересечение любого числа замкнутых множеств -- замкнуто.
Утверждение 6. Объединение любого конечного
числа замкнутых множеств -- замкнуто.
Утверждение 7. Если множество F замкнуто, а G
– открыто, то множество F\G замкнуто, а множество G\F открыто.
Теорема. Любое открытое множество на числовой прямой есть конечное либо счетное объединение попарно непересекающихся интервалов.
(ak , bk )
k 1
Лемма Бореля (о покрытии). Из любого бесконечного открытого покрытия отрезка интервалами можно выделить конечное подпокрытие.
Компактные множества
Лемма Больцано. Из любой бесконечной ограниченной числовой последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Критерий Лебега интегрируемости по Риману ограниченной функции, заданной на отрезке: множество точек разрыва функции можно покрыть счетным набором интервалов, суммарная длина которых меньше любого наперед заданного ε>0.
Примеры.
Функция Римана,
0, x иррационально,
функция Дирихле D(x)
1, x рационально
1. Введение в теорию меры
Длина на числовой прямой определена естественным образом для отрезков, интервалов, полуинтервалов [a,b[ или ]a,b] и их конечных непересекающихся объединений, например,
n |
n |
[ak ,bk [ или |
(ak ,bk ) |
k 1 |
k 1 |
Вопрос: чему равна длина счетного непересекающегося объединения интервалов? (а любое открытое множество на прямой единственным образом может быть представлено в виде такого объединения)
Площадь на плоскости определена естественным образом для прямоугольников
(причем их границы можно включить, можно не включать)
и их конечных непересекающихся объединений.
Будем называть конечные непересекающиеся объединения
полуинтервалов [a,b[ для прямой прямоугольников [a,b[x[c,d[ для плоскости
элементарными множествами.
Набор элементарных множеств образует алгебраическую структуру: кольцо
Набор подмножеств K некоторого фиксированного множества X называется кольцом, если
A K, B K : A B K, A B K
где симметрическая разность множеств определена так:
A B (A \ B) (B \ A)
Можно показать, что A B (A B) \ (B A)
Упражнение 1. Кольцо замкнуто также относительно операций объединение и разность множеств.
Упражнение 2. Проверить, что для любого X набор всех конечных подмножеств образует кольцо.
Упражнение 3. Проверить, что для X=R все конечные непересекающиеся объединения полуинтервалов образуют кольцо.
Упражнение 4. Проверить, что для X=[0,1[ все конечные непересекающиеся объединения полуинтервалов (лежащих в [0,1[) образуют кольцо.
Заметим, что только в упр.4 и само множество X принадлежит кольцу K. В этом случае система множеств K называется алгеброй.
Алгебра – кольцо с единицей.
В свою очередь, кольцо обычно строится через полукольцо (или порождается полукольцом)
Непустое семейство S P(X )
называется полукольцом, если
|
|
|
|
|
|
A S, B S : A B |
|
выполняется равенство |
|||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B \ A Ai , Ai S |
|
|
|
A B S |
|
|
||
|
|
|
|
i 1 |
|
Примером полукольца, если X=R или X=[a,b[ является семейство всех полуинтервалов:
{[a,b[: a,b R} или |
{[ , [:[ , [ [a,b[} |
Утверждение 1. Минимальное кольцо,
порожденное данным полукольцом, состоит из всех конечных объединений элементов кольца.
|
n( A) |
|
|
|
K (S) A : A Ai , Ai S |
||
|
i 1 |
|
Пример: полукольцо из всех полуинтервалов порождает кольцо из конечных непересекающихся объединений полуинтервалов.
Итак, пусть для кольца элементарных множеств, лежащих в некотором фиксированном множестве X, мы знаем, что такое мера (например, длина, площадь и т.д.)
Рассмотрим следующую задачу: как обобщить понятие меры (длины на прямой, площади на плоскости, объема в пространстве и т.п.) на более широкий класс подмножеств в произвольном пространстве?
Впервые систематически теория меры для Rn (прямая, плоскость, пространство и т.д.) была построена Жорданом.
Определим меру элементарных множеств K, содержащихся в некотором множестве X.
K Ρ(X )
Мера определяется аксиоматически – это неотрицательная аддитивная функция множеств.
Определение. На кольце K задана мера, если каждому элементу А из K поставлено в соответствие вещественное число m(A) таким образом, что выполнены следующие условия:
1) A K m(A) 0
n |
n |
2) A Ai , A K, Ai K m( A) m( Ai ) |
|
i 1 |
i 1 |
Примеры
1.На кольце всех конечных подмножеств данного множества количество элементов конечного подмножества является мерой.
2.Сумма длин полуинтервалов для элементов стандартного кольца на числовой прямой является мерой.
3.На полукольце прямоугольников [a,b[x[c,d[ на плоскости площадь является мерой.
4.Обобщение примера 3 на Rn естественным образом.
Мера, заданная на полукольце S, обладает свойством монотонности:
A, B S , таких,что A B m(A) m(B)
Действительно, из определения полукольца
имеем: n |
n |
B \ A Ai , Ai S, |
B A ( Ak ) |
i 1 |
k 1 |
n
m(B) m( A) m( Ak ) m( A)
k 1
Из монотонности меры и свойств сходящегося ряда с неотрицательными слагаемыми следует такое свойство:
|
|
|
A, Ak K |
если Ak |
A, то m( Ak ) m( A) |
|
k 1 |
k 1 |
Далее, следуя Жордану, чтобы расширить класс множеств, для которых определена мера,
определим для произвольного множества
(лежащего в X) его внешнюю меру и внутреннюю меру.
Внешняя мера множества – точная нижняя грань мер всевозможных покрытий его элементарными множествами, или
inf (B) где B – элементарные множества, |
|
A B |
содержащие множество A |
|
|