Глава6. Законы распределения и их характеристики

6.1. Закономерности распределения

При массовых наблюдениях можно заметить определенную зависимость между изменением значений признака и частотами их встречаемости в ряду распределения. Это свидетельствует о том, что частоты в вариационных рядах изменяются закономерно с изменением вариационного признака. Такие закономерности изменения частот в вариационных рядах называются закономерностями распределения. Большое значение для нахождения закономерностей распределения имеет правильное построение самого вариационного ряда.

Основная задача анализа вариационных рядов – выявление подлинной закономерности распределения путем исключения влияния второстепенных, случайных факторов, что достигается увеличением объема исследуемой совокупности при одновременном уменьшении интервала ряда.

Из математической статистики известно, что если увеличить объем совокупности и уменьшить интервал группировки, изобразить эти данные графически, то полигон (гистограмма) распределения все более и более приближаются к плавной линии, являющейся для них пределом и носящей название кривой распределения. Получение кривой распределения на основе полигона или гистограммы можно представить лишь для гипотетического случая, соответствующего бесконечно большому числу единиц совокупности и бесконечно малой ширине интервала ряда.

Только при этих идеализированных условиях кривая распределения будет выражать функциональную связь между значениями варьирующего признака и соответствующими им частотами и представлять так называемое теоретическое распределение.

Различают следующие разновидности кривых распределения:

• одновершинные кривые: симметричные, умеренно асимметричные и крайне асимметричные;

• многовершинные кривые.

Для однородных совокупностей характерны одновершинныераспределения.Многовершинностьсвидетельствует о неоднородности изучаемой совокупности. Выяснение общего характера распределения предполагает оценку его однородности, а также вычисление показателей асимметрии и эксцесса. Для симметричных (нормальных) распределений частоты любых двух вариант, равноотстоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой. Для таких распределений средняя арифметическая, мода и медиана равны:

При сравнительном изучении асимметрии нескольких распределений с разными единицами измерения вычисляется относительный показатель асимметрии.

Коэффициент асимметрии вычисляется по формулам

(6.1)

или

(6.2)

Его величина может быть положительной и отрицательной. Если наблюдается правосторонняя асимметрия (см. рис. 6.1).

Рис. 6.1. Правосторонняя асимметрия

Если – это левосторонняя асимметрия (рис. 6.2).

Рис. 6.2. Левосторонняя асимметрия

Принято считать: если коэффициент асимметрии выше 0,5 (независимо от знака), то асимметрия считается значительной, если он меньше 0,25, то – незначительной.

Наиболее широко применяется для расчета коэффициента отношение центрального момента третьего порядка к среднему квадратическому отклонению данного ряда в кубе:

Оценка асимметрии производится на основе коэффициента асимметрии и средней квадратической ошибки, которая зависит от числа наблюдений (n) и рассчитывается по формуле

В случае асимметрия существенна и распределение признака в генеральной совокупности несимметрично. В противном случае, асимметрия несущественна и ее наличие может быть вызвано случайными обстоятельствами.

Для симметричных распределений может быть рассчитан показатель эксцесса (). Наиболее точно он определяется по формуле с использованием центрального момента четвертого порядка:

(6.3)

(6.4)

На рис. 6.3, 6.4 представлены два вида распределения:

• островершинное (> 0);

• плосковершинное (< 0).

Рис. 6.3. Островершинное Рис. 6.4. Плосковершинное

распределение распределение

В нормальном распределении = 0.

Среднеквадратическая ошибка эксцесса () рассчитывается по формуле

, (6.5)

где n– число наблюдений.

Эти показатели позволяют сделать вывод о возможности применения данного эмпирического распределения к типу кривых нормального распределения [1, 3 – 8].