4.4. Структурные средние

Из структурных средних, характеризующих особенности распределения частот внутри ранжированных и вариационных рядов, получили распространение мода, медиана, средние величины.

Модойв статистике называется величина признака (варианта), которая наиболее часто встречается в данной совокупности. В вариационном ряду это будет варианта, имеющая наибольшую частоту. В дискретном вариационном ряду модой называют ту варианту, которая имеет наибольшую частоту повторения. Мода применяется для решения практических статистических задач. Так, при определении объема массового производства обуви, одежды устанавливается тот размер, который пользуется наибольшим спросом. При изучении товарооборота цены постоянно колеблются и регистрируется не средняя цена на тот или иной товар, а берется модальная цена, по которой продается максимальное количество товаров того или иного вида. Мода употребляется для характеристики некоторых типичных размеров общественных явлений, которые не могут быть выражены при помощи средних показателей.

Могут быть распределения, где все варианты встречаются одинаково часто, в этом случае моды нет. В других случаях не одна, а две варианты могут иметь наибольшие частоты, тогда будут две моды, и распределение будет бимодальным, при большем числе вариант с наибольшими частотами – мультимодальным, что характеризует неоднородность совокупности. В интервальном ряду моду определяют по формуле:

(4.17)

где – нижняя граница модального интервала;

– частота модального интервала;

– частота предмодального интервала;

– частота интервала, следующего за модальным;

– величина интервала.

Пример

Распределение предприятий по численности промышленно-производственного персонала характеризуется следующими данными, приведенными в табл. 4.2. Рассчитать моду.

Таблица 4.2

Группы предприятий по числу рабочих, чел.	Число предприятий, fi	Сумма накопленных частот
100–200	1	1
200–300	3	4
300–400	7	11
400–500	30	41
500–600	19	60
600–700	15	75
700–800	5	80
Итого	80

По формуле (4.17) рассчитаем моду:

=400, =30, =7,=19,=100.

чел.

В интервальном ряду с неравными интервалами применяется плотность распределения (частное от деления частоты на величину принятого интервала).

Медианойв статистике называется значение признака у единицы, которая расположена в середине упорядоченного ряда, а в вариационном ряду медианой будет величина признака, которая делит ряд пополам по сумме накопленных частот.

По данным интервального вариационного ряда медиана определяется по следующей формуле:

, (4.18)

где – медиана;

– нижняя граница медианного интервала;

– сумма накопленных частот;

– сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

– частота медианного интервала;

h – величина медианного интервала.

Медиана обладает следующим свойством: сумма отклонений членов ряда от медианы есть величина наименьшая. Благодаря этому свойству медиану используют при планировании размещения пунктов по заготовке сельскохозяйственной продукции (мясокомбинаты, элеваторы) с тем, чтобы сумма расстояний была минимальной при размещении оборудования общего пользования на предприятии.

Вначале определяется медианный интервал по сумме накопленных частот, превышающих половину всех значений частот. Для вышеприведенной задачи (см. табл. 4.2) медианным интервалом будет 400–500.

Рассчитаем медиану

.

Средняя, мода, медиана в анализе характера распределения дают возможность логического контроля расчетов. При симметричном распределении членов ряда, т. е. когда частоты равномерно возрастают, а потом убывают, средняя, мода и медиана равны между собой. При асимметричном распределении медиана расположена в середине, а средняя и мода – по краям. Чем больше расхождение между модой и средней арифметической, тем больше асимметрично распределение. Для умеренно асимметричных рядов характерно следующее соотношение:

Моду и медиану в интервальном ряду можно определить графически. Мода определяется по гистограмме распределения. Выбирается самый высокий прямоугольник, который является модальным. Затем правую вершину прямоугольника соединяют с правой вершиной предшествующего прямоугольника, а левую вершину с левой вершиной последующего прямоугольника. Из точки пересечения восстанавливается перпендикуляр до абсциссы – это значение будет модой. Медиана рассчитывается по кумуляте. Для ее определения из точки на шкале накопленных частот, соответствующей 50 %, проводится прямая, параллельная оси абсцисс, до пересечения с кумулятой.

Для характеристики структуры применяются квартили и децили. Квартилиделят ранжированную совокупность по сумме накопленных частот на четыре равные части. Различаютквартиль нижний(Q₁), отделяющий 1/4 часть совокупности с наименьшими значениями признака иквартиль верхний(Q₄),отсекающий 1/4 часть с наибольшими значениями признака.

Для дискретного ряда квартили рассчитываются следующим образом: находится L=1/4R, которая используется для определения квартилей. Например, для ранжированного ряда 5, 13, 17, 32, 37, 49, 52 эта величина равна 11,7. Тогда

Для расчета квартилей по интервальному вариационному ряду используются формулы:

; (4.19)

, (4.20)

где – нижняя граница интервала, содержащего нижний квартиль (интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 25 %);

– нижняя граница интервала, содержащего верхний квартиль (интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 75 %);

h– величина интервалов;

– сумма накопленных частот интервала, предшествующего интервалу, содержащему нижний квартиль;

– то же для верхнего квартиля;

– частота интервала, содержащего нижний квартиль;

– то же для верхнего квартиля.

Кроме квартилей, в вариационных рядах распределения могут определяться децили– варианты, делящие ранжированный ряд по сумме накопленных частот на десять равных частей. Первый дециль (d₁) делит совокупность в отношении 1/10 к 9/10, второй дециль (d₂) – в соотношении 2/10 к 8/10 и т. д. Вычисляются они по той же схеме, что и медиана, и квартили.

Значения признака, делящие ряд на сто частей, называются процентилями.Это характеристика используется редко [1, 2– 8].

Тесты

1. Чтобы получить относительный показатель динамики с переменной базой сравнения для i-го периода, необходимо:

а) перемножить относительные показатели динамики с постоянной базой сравнения за i-й и (i– 1) периоды;

б) разделить относительный показатель динамики с постоянной базой сравнения за i-й период на аналогичный показатель за период (i – 1);

в) разделить относительный показатель динамики с постоянной базой сравнения за i-й период на аналогичный показатель за период (i + 1).

2. Относительный показатель реализации предприятием плана производства продукции составил 103 %, при этом объем производства по сравнению с предшествующим периодом вырос на 2 %. Что предусматривалось планом?

а) снижение объема производства;

б) рост объема производства.

3. Сумма относительных показателей координации, рассчитанных по одной совокупности, должна быть:

а) строго равной 100;

б) меньше 100 или равной 100;

в) меньше, больше или равной 100.

4. В каких случаях взвешенные и невзвешенные средние равны между собой?

а) при отсутствии весов;

б) при равенстве весов;

в) при отсутствии или равенстве весов.

5. В каких случаях используется средняя гармоническая?

а) когда неизвестен числитель исходного соотношения;

б) когда неизвестен знаменатель исходного соотношения.

6. Изменится ли средняя величина, если все частоты уменьшить на некоторую постоянную величину?

а) изменится;

б) не изменится [1, 12–15].