Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Metodichka_chast_2

.pdf
Скачиваний:
15
Добавлен:
29.02.2016
Размер:
3.33 Mб
Скачать

ВВЕДЕНИЕ

Всовременном образовании наиболее актуальной является проблема эффективности профессиональной подготовки будущих специалистов. Основными задачами высшей технической школы являются: формирование у выпускников вузов системы необходимых знаний, умений и навыков, а также развитие способности и готовности пополнять и применять эти знания в профессиональной деятельности современных инженеров.

Изучение математики в вузе не только дает возможность будущим инженерам получить определенные знания, но и развивает способность ставить, исследовать и решать самые разнообразные задачи, в том числе и профессиональные, а значит, позволяет будущим специалистам расширять свой кругозор и развивать мышление. Полученные студентами математические знания являются фундаментом для дисциплин естественнонаучного, общепрофессионального и специального циклов. Универсальность математических методов позволяет обнаруживать существующие взаимосвязи разных дисциплин, что способствует в будущем успешной профессиональной деятельности.

Целью учебной дисциплины «Математика» является формирование

устудентов знаний, умений и профессиональных компетенций помогающих анализировать, моделировать и решать прикладные инженерные задачи.

Задачи учебной дисциплины – дать студентам представление о месте математики в системе естественных наук и о математике как особом способе познания мира.

Врезультате изучения учебной дисциплины студент должен:

знать:

методы математического анализа, аналитической геометрии, линейной, векторной и высшей алгебры, методы решения дифференциальных уравнений;

основные понятия и методы теории вероятностей и математической статистики;

особенности и правила применения теоретических основ математики при решении технических задач, задач по совершенствованию технологических и производственных процессов;

уметь:

решать математические формализованные задачи линейной ал-

гебры и аналитической геометрии;

– дифференцировать и интегрировать функции, вычислять интегралы по площадям и объемам;

3

решать дифференциальные уравнения и их системы;

ставить и решать вероятностные задачи и применять статистические методы обработки данных;

строить математические модели физических процессов;

владеть:

– методами решения прикладных математических задач при оптимизации производства.

Для оценки учебных достижений студентов заочной формы получения образования специальности 1-74 06 01 Техническое обеспечение процессов сельскохозяйственного производства во время подготовки их к сессии в первом и втором семестрах запланированы контрольные работы. Они выполняются в виде аудиторного контрольного тестирования (АКТ) в первые дни появления студентов на сессии. Спецификация и типовой пример такого опроса для второго семестра приведены в разделе 14 данных методических указаний.

В соответствии с учебным планом завершающим этапом изучения математического курса в обоих семестрах является сдача экзаменов.

Основной формой обучения студентов-заочников является самостоятельная работа над учебным материалом: изучение учебников, решение задач, выполнение тренировочных заданий, ответы на вопросы теста по пройденным разделам.

Самостоятельную работу над учебным материалом рекомендуется проводить студентам по следующей схеме: изучение теоретических сведений по учебникам и пособиям, решение задач, самопроверка.

Во время изучения учебника следует переходить к следующему вопросу только после правильного понимания предыдущего, проделывая самостоятельно рекомендуемые к решению задания, восстанавливая все промежуточные вычисления. Весьма полезным является краткое конспектирование изучаемого теоретического материала с выделением в конспекте важнейших формул. Как правило, при сдаче экзамена в случае необходимости разрешается воспользоваться таким конспектом.

Изучение теоретического материала должно сопровождаться решением задач. При этом следует обращать серьезное внимание на правильность арифметических вычислений. Задачи определенного типа необходимо решать до приобретения твердых навыков и только в этом случае можно пропускать однотипные примеры.

Самопроверка состоит из ответов на теоретические вопросы и решений тестовых или индивидуальных заданий. Не стоит расстраиваться и паниковать, если какие-то задания не будут сразу получаться. Нужно попытаться выяснить, из-за чего конкретно не получается правильный ответ, найти аналогичное задание в литературе и,

4

если есть в этом необходимость, лишь затем обращаться за консультацией.

Данные методические указания ни в коей мере не заменят учебник. Они лишь служат своеобразным «путеводителем», обращая внимание студента на принципиальные моменты курса.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1.Б е р м а н т, А.Ф. Краткий курс математического анализа. / А.Ф. Бермант, И.Г. Араманович – М.: Наука, 1973.

2.Высшая математика. Общий курс / Кузнецов А.В., Янчук Л.Ф., Мызгаева С.А., Корзюк А.Ф., Яблонский А.И.; под ред. А.И. Яблонского Минск: Вышэйш. шк., 1993.

3.Г м у р м а н, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика / В.Е. Гмурман. М.: Высш. шк. 1972.

4.Г ус а к , А. Н. Высшая математика: в 2 ч. / А. Н. Гусак. – Минск: ТетраСистемс,

2000. – Ч. 2.

5. К уд р я в ц е в , В. А. Краткий курс высшей математики / В. А. Кудрявцев, Б. П. Демидович. – М.: Наука, 1989.

5.М и л о в а н о в , М. В. Алгебра и аналитическая геометрия: в 2 ч. / М. В. Милованов, Р. И. Тышкевич, А. С. Феденко. – Минск: Вышэйш. шк., 1984. – Ч. 1.

6.П и с ь м е н н ы й , Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: в 3 ч./ Д. Т. Письменный. – 2-е изд., испр. – М.: Айрис-пресс, 2004. – Ч. 2, 3.

7.П о л у н и н, И.Ф. Курс математического программирования / И.Ф. Полунин. М.:

Высш. шк., 2008.

1.ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ 2-ГО СЕМЕСТРА

ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА»

1.Двойной интеграл и его свойства.

2.Вычисления двойного интеграла в прямоугольных декартовых координатах.

3.Приложения двойного интеграла к задачам геометрии и меха-

ники.

4.Криволинейный интеграл по координатам (второго рода).

5.Вычисление криволинейного интеграла по координатам.

6.Формула Грина. Независимость криволинейного интеграла от линии интегрирования.

7.Общие понятия дифференциальных уравнений.

8.Постановка задачи Коши в дифференциальном уравнении и ее геометрическая интерпретация.

9.Решение дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

10.Решение однородных дифференциальных уравнений первого порядка.

11.Решение линейных дифференциальных уравнений первого по-

рядка.

5

12.Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.

13.Решение линейных однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

14.Решение линейных неоднородные дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.

15.Основные понятия числового ряда. Положительные ряды.

16.Эталонные ряды. Признаки сходимости положительных рядов.

17.Знакочередующиеся ряды Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов.

18.Функциональные ряды, основные понятия и признаки сходимости. Степенные ряды. Радиус и область сходимости.

19.Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора и Макло-

рена.

20.Применение степенных рядов.

21.Основные понятия теории вероятностей.

22.Формулы комбинаторики.

23.Формулы классической и статистической вероятности, их свой-

ства.

24.Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность.

25.Формулы полной вероятности и Байеса.

26.Повторные испытания, формула Бернулли вычисления вероятности повторных испытаний.

27.Асимптотические формулы вычисления вероятности повторных испытаний.

28.Случайные величины и законы их распределения.

29.Основные числовые характеристики случайных величин.

30.Основные законы распределения случайной величины.

31.Задачи математической статистики. Генеральная совокупность, выборка. Статистический закон распределения.

32.Эмпирическая функция распределения. Графическое изображение статистических рядов.

33.Статистические оценки параметров распределения.

34.Точечные и интервальные оценки параметров распределения.

35.Элементы корреляционного и регрессионного анализа. Линейная корреляционная зависимость и прямые регрессии.

36.Метод наименьших квадратов.

37.Основные понятия и задачи математического программирования.

38.Графический способ решения задачи линейного программиро-

вания.

39.Симплекс-метод решения задачи линейного программирования.

40.Транспортная задача и ее решение методом потенциалов.

6

2. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

2.1. Первообразная и неопределенный интеграл

Функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x), если F ' (x) f (x) . Если F(x) есть первообразная функция для

функции f(x), то каждая из функций F(x)+C, где С – произвольная постоянная, будет также первообразной для функции f(x). Это означает, что если функция f(x) имеет хотя бы одну первообразную функцию, то она может иметь бесчисленное множество первообразных функций и все они отличаются друг от друга на постоянную величину.

Совокупность всех первообразных функций F(x)+C для функции f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обо-

значается f (x)dx F(x) C . Процесс нахождения первообразной

функции называется интегрированием. Переменная х называется пе-

ременной интегрирования, функция f(x) называется подынтегральной функцией, выражение f(x)dx подынтегральным выражением.

2.2. Свойства неопределенного интеграла

Неопределенный интеграл обладает свойствами, использование которых в значительной степени может упростить интегрирование функций.

Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т. е. f (x)dx ' f (x) .

Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т. е. d f (x)dx f (x)dx .

Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная постоянная, т. е. dF (x) F (x) C .

Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

kf (x)dx k f (x)dx .

Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций, т. е.

f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx .

7

– Результат интегрирования не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е. если f (x)dx F(x) C , то при замене перемен-

ной интегрирования х на t f (t)dt F (t) C . Такое свойство называ-

ется инвариантностью формулы интегрирования.

2.3. Основная таблица неопределенных интегралов

При интегрировании удобно пользоваться формулами, которые составляют таблицу основных интегралов:

1

dx x C

7

cos(x)dx sin(x) C

 

 

 

n

 

 

x

n 1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

tg(x) C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

x

dx

 

n

 

 

 

 

 

C

8

 

cos

2

(x)dx

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

3

 

1

dx ln

 

x

 

C

9

 

 

 

 

1

 

 

 

 

ctg(x) C

 

 

 

 

 

sin2 (x)dx

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

dx arcsin( x) C

4

e

x

dx e

x

 

C

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x2

 

 

a

x

 

 

 

a x

 

 

1

 

 

dx arctg(x) C

5

 

 

dx

 

C

11

 

 

 

ln(a)

1 x2

6

sin(x)dx cos( x) C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интегралы данной таблицы называются табличными. Каждая из формул таблицы справедлива в области определения подынтегральной функции.

2.4. Основные методы интегрирования

При интегрировании функций не всегда можно сразу использовать таблицу интегралов. Как правило, вначале нужно данный интеграл преобразовать таким образом, чтобы свести его к одной или нескольким формулам таблицы. Для этого используются специальные методы интегрирования, основными из которых являются непосредственное интегрирование, замена переменной (или метод подстановки), метод интегрирования по частям.

8

Суть метода непосредственного интегрирования состоит в том, что данный интеграл с помощью алгебраических преобразований и свойств неопределенного интеграла сводится к табличным интегралам. При этом часто удобно пользоваться некоторыми преобразованиями дифференциала, которые называются «подведением под знак дифференциала»:

 

 

du d(u a) , где а – число;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

1

d (au) , где а – некоторое не равное нулю число;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

udu

1

 

d (u2 ) ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos(u)du d(sin(u)) ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin(u)du d(cos(u)) ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

du d (ln(u)) ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

du

d (tg(u)) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos 2 (u)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 1 . Найти неопределенные интегралы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) x6dx ;

 

 

б)

2x3 4x2 5 dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

x

 

 

 

 

e

 

 

4sin(x)

 

 

 

 

 

 

 

dx ; г)

 

3 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

2

(x)

 

 

 

 

 

 

 

3

 

x

 

 

1 x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. а)

 

x6dx

x6 1

C

x7

 

C ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) 2x3 4x2 5 dx = 2 x3dx 4 x2dx 5 dx

2

x4

 

4

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

3

 

 

 

5 x C

 

 

1

x4

4

x3 5x C ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

4 sin(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

dx

 

в)

x

 

x

 

cos

2

 

 

 

 

 

 

 

dx =

 

x

dx

x

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 sin(x)dx

 

 

dx

x

 

ln

 

x

 

ex 4 ( cos( x) tg(x) C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos 2 (x)

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3 ln x ex 4 cos( x) tg(x) C ; 3

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

1

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

4

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г)

 

3 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx = 3 x 4 2

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 x

 

 

1 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

x

4

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

3 x 4 dx 2 x

 

 

3 dx

 

dx 3

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

arctg (x) C

 

 

1 x2

3

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

x 4

2

x 3

 

arctg( x) C

12

 

 

 

 

 

 

 

 

4

x7

33

 

x2 arctg( x) C .

 

7

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 3

Если интеграл непосредственно не находится, то во многих случаях результат может быть достигнут с помощью метода замены переменной (подстановки). Данный метод помогает значительно упростить подынтегральное выражение и свести интеграл к одной из формул таблицы.

Если подынтегральная функция представляет собой дробь, у которой числитель есть производная знаменателя, то такой интеграл равен логарифму натуральному от абсолютной величины знаменателя, т. е.

f (x) dx ln f (x) C. f (x)

 

 

Пример 2.

 

 

Найти интегралы: а) sin(3x)dx ;

 

 

 

б)

(3 x)5 dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

д)

 

x2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) 5 3x 4dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г) xe x

dx ;

 

 

 

 

 

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

x3 3x 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. а) sin3xdx

u = 3x, du = 3dx, dx

 

du

 

sinu

du

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

3

 

 

 

1

sin udu

 

1

 

( cos u) C

1

cos 3x C ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) (3 x)5 dx

 

 

u = 3 x, du = dx, dx = du

 

u 5 ( du)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u5du

u6

 

C

(3 x)6

 

C ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

 

5

 

 

du

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x 4

dx

u = 3x 4, du = 3dx, dx

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

1

1

 

 

 

1

 

 

6

 

6

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

du

u

 

 

 

 

C

5

u6

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

5 (3x 4)6

C ;

 

5

5

 

3

 

 

 

 

3

 

 

5

18

 

 

 

18

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г) xe x2 dx

u x2 , du = 2xdx, xdx

du

= eu

du

 

1

eu du

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

2

 

 

 

 

=

1

eu C

1

ex2

C ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д)

 

x2 1

 

dx

 

u x

3

3x 5, du

3x

2

3 dx, x

2

1 dx

du

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3 3x 5

 

 

 

 

3

 

 

1 du

1

 

du

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

u

C

 

ln

x3 3x

5

C .

 

 

 

 

 

 

 

u

 

3

3

u

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для нахождения интеграла вида udv

используется формула ин-

тегрирования по частям udv uv vdu .

Если в результате получилось, что интеграл в правой части формулы проще, чем в левой, то применение этой формулы оправдано. Обычно в подынтегральном выражении за функцию u принимают тот множитель, который после его дифференцирования становится более простым. Оставшуюся часть подынтегрального выражения принимают за дифференциал dv некоторой функции v.

При использовании данного метода интегрирования удобно пользоваться следующими рекомендациями:

в интегралах вида P(x) ekxdx ,

P(x) sin(аx b)dx ,

P(x) cos(аx b)dx

имеет смысл положить u=P(x), а в качестве dv

взять оставшуюся часть подынтегрального выражения;

– в

интегралах

вида P(x) arcsin( x)dx ,

P(x) arccos( x)dx ,

P(x) arctg (x)dx ,

P(x) arcctg( x)dx ,

P(x) ln(x)dx следует поло-

жить dv=P(x)dx, а оставшуюся часть подынтегрального выражения обозначить через u;

– в интегралах вида eax sin(bx)dx , eax cos(bx)dx можно положить

u eax , а оставшуюся часть подынтегрального выражения принять за

dv.

Пример 3. Найти интегралы:

а) x cos( x)dx ; б) (2x 1)e3x dx ; в) ln(x)dx ; г) x2e5 x dx .

Решение.

11

 

 

 

а)

 

 

x cos(x)dx

u x, du dx, dv cos(x)dx, dv cos(x)dx,

 

 

 

 

v sin(x)

 

= x sin(x) sin(x)dx x sin(x) cos( x) C ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) (2x 1)e3x dx

u 2x 1, du 2dx, dv e3x dx, dv e3x dx,

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

e3x

 

 

 

 

(2x 1)

 

 

1

e3x

 

1

e3x 2dx

1

(2x 1)e3x

2

e3x dx

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

(2x 1)e3x

 

2

 

1

e3x

C

1

(2x 1)e3x

2

e3x C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

3x

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

2x

 

 

 

 

 

C;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

 

 

 

ln(x)dx

u ln(x), du

dx, dv dx, dv dx, v x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= x ln x x

1

 

dx x ln x dx x ln x x C ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

г)

 

 

x2e5x dx

u x2 , du 2xdx, dv e5x dx, dv e5x dx, v

 

e5 x

 

 

 

 

 

5

x2

1

e5 x

 

 

1

e5x

2xdx

1

 

x2e5x

2

 

xe5x dx

 

u x, du dx,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5x

 

 

 

 

 

 

 

2

 

5 x

 

 

 

 

 

 

5x

 

 

 

5x

 

 

 

2

 

 

5x

 

 

 

 

dv e

 

 

 

dx,v

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

x

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

e

 

 

 

 

 

e

 

 

 

dx

 

 

 

x

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

1

 

 

 

 

5x

 

 

 

1

 

 

 

1

 

e5x

 

C

 

1

x 2 e5x

 

2

 

xe 5x

2

 

5x

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xe

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

25

 

 

 

 

 

 

125

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

e5x

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.5. Интегрирование рациональных и иррациональных функций

Функция вида R(x) P(x) называется рациональной дробью, если

Q(x)

ее числитель и знаменатель являются многочленами. Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя. Если же степень числителя больше либо равна степени знаменателя, то рациональная дробь называется неправильной.

12

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]