Metodichka_chast_2

при n . По признаку Лейбница ряд сходится.

Знакочередующиеся ряды, сходящиеся по признаку Лейбница, называют Лейбницевскими рядами. Остаток rn таких рядов не пре-

восходит абсолютной величины первого из отброшенных членов ряда rn an 1 . Этим фактом обычно пользуются при отыскании суммы

Лейбницевского ряда с заданной точностью . В данном случае при вычислении суммы можно ограничиться конечным числом слагаемых ряда, складывая только те его члены, которые по абсолютной величине превышают заданную точность или равны ей. Тогда предельная абсолютная погрешность суммы ряда будет удовлетворять неравенству

Данный ряд является Лейбницевским, поэтому найдем первый слева член ряда, который по абсолютной величине меньше заданной точности.

расходится, то знакопеременный ряд называется условно сходящимся.

1

3 .

n 1 n

Данный ряд является обобщенным гармоническим рядом с показателем степени знаменателя =3>1, а значит это сходящийся ряд.

53

Из сходимости положительного ряда следует абсолютная сходимость исходного ряда.

показателем степени знаменателя = 12 <1, а значит это расходящийся

Однако можно показать, что все условия признака Лейбница для исходного ряда выполняются (предлагается проверить самостоятель-

8.5. Функциональные ряды

Пусть u1(x), u2(x), ... , un(x), ... – последовательность функций, определенных на некотором множестве X.

Ряд u1 (x) u2 (x) ... un (x) ... un (x) , членами которого яв-

n 1

ляются функции u1(x), u2(x), ... , un(x), ..., называется функциональным.

ный ряд.

Придавая переменной x различные числовые значения из множества X, будем получать различные числовые ряды. В частности, при x=x0 X

получим числовой ряд un (x0 ) . Этот числовой ряд может быть схо-

n 1

дящимся или расходящимся.

Значение x=x0, при котором функциональный ряд сходится, называется точкой сходимости, а множество всех точек сходимости функционального ряда называют его областью сходимости и обозначают ее через D. Очевидно, D X. Множество D может совпадать или не совпадать с множеством X, или же может быть пустым множеством. В

54

последнем случае функциональный ряд расходится в каждой точке множества X.

Вид области D для произвольного функционального ряда может быть различным: вся числовая ось, интервал, объединение интервалов и полуинтервалов и т.д. В простейших случаях, при исследовании функциональных рядов на сходимость, можно применить рассмотренные выше признаки сходимости числовых рядов, если под x понимать фиксированное число.

Сумма первых n членов функционального ряда Sn(x)=u1(x)+ u2(x)+...+ un(x) называется n-ой частичной суммой, а функция

S(x) limSn (x) , определенная в области D, – суммой функционального

n

ряда.

Функция Rn(x)=S(x) – Sn(x) , определенная в области D, называется

остатком ряда.

Функциональный ряд называется абсолютно сходящимся на мно-

жестве D X, если в каждой точке D сходится ряд un (x) .

n 1

8.6. Степенные ряды

Частным случаем функциональных рядов являются степенные ряды.

Степенным рядом называется функциональный ряд вида:

Cn (x x0 )n C0 C1 (x x0 ) С2 (x x0 )2 ... Сn (x x0 )n ...,

n 0

где C0 , C1 , ... , Cn,..– члены некоторой числовой последовательности; x0 – точка, называемая центром степенного ряда.

с центром в точке x0=0.

пенной ряд с центром в точке x0= –3.

Исследование степенного ряда на сходимость, а именно нахождение области сходимости степенного ряда, является одним из главных вопросов.

Справедливо утверждение (теорема Абеля):

Если степенной ряд сходится при x=x1 (x1 x0), то он сходится, и притом абсолютно, для всех x, удовлетворяющих неравенству

55

|x–x0 |<|x1–x0|.

Если степенной ряд расходится при x=x2 , то он расходится для всех x, удовлетворяющих неравенству

|x–x0 |>|x2–x0|.

Согласно данному утверждению для степенного ряда существует такое положительное число R, что для всех x, удовлетворяющих неравенству |x – x0|<R, ряд сходится абсолютно и расходится при всех x, для которых |x–x0|>R. Это число R называется радиусом сходимости

ряда Сn (x x0 )n , а интервал (x0 – R, x0 + R) – интервалом сходимо-

n 0

сти.

Радиус сходимости степенного ряда вычисляется по одной из формул:

В частном случае интервал сходимости степенного ряда может совпадать со всей числовой осью (в этом случае R= ) или может превращаться в точку (в этом случае R=0). Заметим, что интервал сходимости всегда симметричен относительно центра степенного ряда.

Так как x0=2 – центр степенного ряда, то (x0 –R, x0+R)=(1; 3) – интервал сходимости данного ряда. Исследуем сходимость ряда на концах этого интервала.

При x=1 из данного ряда получаем ряд ( 1)n 1 , который условно

n 1 n

сходится.

56

При x=3 получаем гармонический ряд 1 , который расходится.

n 1 n

Итак, данный ряд сходится абсолютно при 1<x<3 и условно при x=1, т.е. область сходимости ряда x [1; 3).

8.7. Ряды Тейлора и Маклорена

Если степенной ряд Cn (x x0 )n сходится и его сумма S(x)= f(x),

n 0

то коэффициенты этого ряда определяются по формулам:

называется рядом Тейлора функции f(x) в точке x0 .

Если для произвольной бесконечно дифференцируемой функции формально составить ряд Тейлора, то он может и не совпадать с самой функцией f(x). Поэтому важно определить, когда ряд Тейлора сходится к функции f(x), для которой он составлен.

Если на интервале (x0 R; x0 R) функция f(x) и все ее производные ограничены в совокупности одной и той же константой M , то ее ряд Тейлора сходится к функции f(x) на интервале (x0 R; x0 R) .

Частным случаем ряда Тейлора, когда x0 0 , является ряд Макло-

рена

Таким образом, получаем следующее разложение:

57

Почленное дифференцирование степенных рядов: производная функции, определенной степенным рядом, находится по формуле:

Сложение, вычитание, умножение и деление степенных рядов:

сложение и вычитание степенных рядов сводится к соответствующим операциям с их членами:

Произведение двух степенных рядов выражается формулой:

Деление двух степенных рядов выражается формулой:

n 0

где коэффициенты qn определяются из системы уравнений:

8.10. Применение степенных рядов

Разложение функций в ряды Тейлора и Маклорена используется при вычислении приближенных значений функций, определенных интегралов, решении дифференциальных уравнений и др.

Пример 1 . Разложить по степеням x функцию f (х) sin(2x) .

59

Решение. Если обозначить 2x z , то, используя разложение функции sin(x), получаем:

Поскольку разложение функции sin(x) справедливо для x R , то и в данном случае х может быть любым действительным числом.

В результате получили Лейбницевский числовой ряд, который с заданной точностью можно ограничить конечным числом слагаемых.

Так как пятый член ряда 0,000486 0,001 , поэтому ограничимся первыми четырьмя слагаемыми в разложении. Получим

60

Пусть поставлена задача Коши для дифференциального уравнения n-го порядка, разрешенного относительно старшей производной:

y(n) f (x, y, y , y ,...,у(n 1) ) ,

В данном случае неизвестными величинами являются значения соответствующих производных. Можно заметить, что в качестве первых n – 1 значения производной искомой функции: y(x0 ), y (x0 ), y (x0 ),

значения производных более высокого порядка чем n – путем последовательного дифференцирования исходного уравнения, как функции заданной неявно, с последующей подстановкой ранее полученных значений производных в точке х0.

Ряд, полученный путем подстановки найденных значений, представляет частное решение дифференциального уравнения. Точность данное решения будет уменьшаться по мере удаления х от х0.

Рассмотренный способ применим для построения решения дифференциального уравнения любого порядка и называется методом последовательного дифференцирования.

Пример 6 . Методом последовательного дифференцирования найти первых пять членов отличных от нуля разложения в ряд решения диф-