Metodichka_chast_2
.pdf
а) по сторонам треугольника ОАВ (объяснить полученный ответ); б) по сторонам треугольника ОАВ, применяя формулу Остроградского – Грина;
в) по ломанной ABO; г) по отрезку АО.
Доказать, что данный криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования. Восстановить полный дифференциал функции по подынтегральному выражению и вычислить криволинейный интеграл от точки А до точки О, если: О(0; 0), А(0; N+1), В(2; 3).
Задание 5. Исследовать на сходимость числовые ряды:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
N n2 |
8 n 1 |
|
|
|
4 N n 4 |
|
|
|
|
(2 n N )3 |
|
||||||||||||
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
б) |
|
|
|
|
|
|
|
; в) |
|
|
|
; |
|
|
|
n |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
6 |
n |
||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 (2 n 4N ) |
|
|
|
N 1 |
|
|
|||||||||
|
|
7n |
3 |
3n 4 |
|
n |
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
г) |
|
|
|
|
|
|
|
; |
д) |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||
Nn |
3 |
6n |
2 |
1 |
(2n |
5) |
N |
|
|
|
|
|
||||||||||||
N 1 |
|
|
|
|
|
N 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Задание 6. Исследовать на абсолютную и условную сходимость числовой ряд
|
|
|
N n |
|
( 1)n |
|
|
. |
|
7 |
n |
|
||
N 1 |
|
(2n 3) |
||
Задание 7. Определить интервал сходимости степенного ряда:
|
x |
n |
4 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
(20 N ) n 5 |
||||||
n 1 |
|
|||||
Задание 8. Приближенно вычислить определенный интеграл с точностью ε=0,001
1 |
|
2 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
cos |
N |
dx . |
|
0 |
|
|
|
|
||
Задание 9. При указанных начальных условиях найти четыре первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд функции,
являющейся решением задачи Коши y x( N 15) N y2 , y(1) N 4 .
14. СПЕЦИФИКАЦИЯ И ТИПОВОЙ ПРИМЕР ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ
Тест по курсу «Математика (II семестр)» разработан для оперативного контроля знаний студентов с целью оценки их уровня знаний по темам, выносимым для самостоятельной подготовки. К ним относятся:
1)Интегральное исчисление функции одной переменной.
2)Функция нескольких переменных.
3)Двойные и криволинейные интегралы.
4)Числовые и функциональные ряды.
93
5) Элементы математической статистики.
Уровень сложности тестовых заданий и их содержание полностью соответствуют требованиям государственного образовательного стандарта по математике для специальности 1-74 06 01 «Техническое обеспечение процессов сельскохозяйственного производства» ОСВО 1 - 74 06 01 – 2013. Задания в базе данных постоянно совершенствуются после соответствующего обсуждения на заседаниях кафедры. Система электронного тестирования представляет собой постоянно пополняемую базу данных задач, сгруппированных по уровню сложности. Формирование теста для конкретного студента исключает его повторение и дублирование, так как осуществляется путем случайного выбора вопросов из сформированных и определенных групп. Количество вопросов в тестовом задании – 20, каждый из которых оценивается в 1 балл. Время выполнения теста – 20 минут. Критерии оценки приведены в таблице
Оценка |
Нижняя граница |
Верхняя граница |
1 |
1 |
2 |
2 |
3 |
5 |
3 |
6 |
8 |
4 |
9 |
10 |
5 |
11 |
12 |
6 |
13 |
14 |
7 |
15 |
16 |
8 |
17 |
18 |
9 |
19 |
19 |
10 |
20 |
20 |
Студент допускается к сдаче экзамена лишь в случае положительного результата тестирования. Количество попыток ограничено и определяется кафедрой. Студент допускается к сдаче теста только после предъявления зачетки или студенческого билета. Ввод персональных данных студента и запуск теста осуществляет при непосредственном присутствии администратора (преподавателя или лаборанта кафедры). Результат сдачи теста автоматически заносится в базу данных, тем самым сведения становятся доступными для просмотра преподавателю и на основании их формируется ведомость тестирования.
Типовой пример тестовых заданий
Задание 1. Интеграл x17 dx равен…
1) |
8 |
С ; |
2) |
1 |
С ; |
3) |
1 |
С ; 4) |
6 |
С . |
|
x8 |
6x6 |
7x6 |
x6 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Задание 2. Интеграл 3 7x4 dx равен…
94
|
1) |
|
4 |
|
|
; |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4) |
4 |
|
|
С . |
||||||
|
|
|
|
2) |
3 x7 С ; |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3) |
4 x С ; |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
214 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
33 x |
49 |
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
x |
||||||||||||||
|
|
Задание 3. |
Интеграл cos(5x 4)dx равен… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1) cos(5x 4) ; |
|
|
|
|
|
|
|
2) sin(5x 4) С ; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
3) |
1 |
sin(5x 4) С ; |
|
|
|
|
|
4) |
1 |
sin(5x 4) С . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Задание 4. |
Вычислить (3x2 |
4x 1)dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1) |
– 4; |
|
|
2) –5; |
|
|
|
|
|
3) 6; |
|
|
|
4) 9. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Задание 5. |
Вычислить е3 2 x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1) e 1; |
|
|
2) 0,5; |
|
|
3) е (e2 |
1) ; |
4) 0,5е (e2 1) . |
|||||||||||||||||||||
|
|
Задание 6. |
Площадь фигуры, |
ограниченной линиями:y = 2x – 1, |
|||||||||||||||||||||||||||
y = 0, x=1, x=3 равна… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1) |
6; |
|
|
|
2) 1; |
|
|
3) 7; |
|
|
|
4) 12. |
||||||||||||||||||
|
|
Задание 7. Вычислить ( y 1) dxdy , если D: 0 x 1; 1 y 0 . |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) 2; |
|
|
|
2) 1; |
|
|
|
|
|
3) 0,5; |
|
|
|
4) –3. |
||||||||||||||||
|
|
Задание 8. Какая из формул справедлива для двойного интеграла? |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
y2 x |
|
f x, |
y dxdy f x dx f y dy ; |
||||||||||||||||||
1) |
f x, |
y dxdy dx |
dy ; |
2) |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
D |
|
|
|
|
a |
y1 x |
|
D |
|
|
|
|
|
D |
D |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 x |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
y2 x |
|
|
|
|
||||
3) |
f x, |
y dxdy dx dy ; |
4) |
f x, |
|
y dxdy dx f |
x, y dy . |
||||||||||||||||||||||||
|
|
D |
|
|
|
|
y1 x a |
|
D |
|
|
|
|
|
|
a |
y1 x |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Задание 9. |
Масса плоской пластинки D с поверхностной плотно- |
||||||||||||||||||||||||||||
стью (x, y) находится по формуле: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1) |
m x, y dxdy ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
m xy dxdy ; |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
3) |
m dxdy ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
m |
1 |
dxdy. . |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 10. Дана функция двух переменных z=4x3–5y2+x4y5–7xy+8. |
|||||||||||||||||||||||||||||
Значение смешанной частной производной zху равно… |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1) |
20x3y4–7; |
2) 12x2+4x3y5–7у; |
|
3) –10у+5x4y4–7x; |
4) 20x3y4–7у. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
95 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 11. Если кривая LAB в плоскости xOy задана уравнением
x y , c y d , то P(x, y)dx Q x, y dy находится по формуле: |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
LAB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
P y, y |
Q y, y y dy ; |
2) P y, y Q y, y y dx ; |
|||||||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
P y , y y Q y , y dy ; |
4) P y, y Q y, y y dy . |
||||||||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 12. |
P x, y dx Q x, y dy не зависит от пути интегрирования, |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1) |
P |
|
Q |
; |
|
|
|
|
|
|
2) |
P |
|
Q |
0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
y |
|
|
|
|
|
|
x |
y |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3) |
P |
Q 0 ; |
|
|
|
|
|
|
4) |
P |
|
Q |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
y |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 13. Вычислить ydx xdy |
от т. |
O 0; 1 до т. |
A 1; |
0 , если |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y x 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1) 2; |
|
|
|
2) 1; |
|
|
|
|
3) – 3; |
|
|
|
|
4) –2. |
|
|
||||||||
|
Задание |
14. |
Если |
du 3x2 |
2xy 3 dx 4 x2 dy , |
|
то |
функция |
||||||||||||||||
u x, y находится по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1) 3x3 2x2 y 3x 4y C ; |
2) x2 y C ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3) 3x3 3x 4y C ; |
|
|
|
|
4) x3 x2 y 3x 4y C . |
|||||||||||||||||||
|
Задание |
15. |
Формула |
Грина для |
криволинейного |
|
интеграла |
|||||||||||||||||
5ydx 6xdy |
преобразуется в интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
dxdy ; |
2) |
dxdy ; |
3) |
|
30xydxdy ; |
4) |
6х 5y dxdy . |
||||||||||||||||
|
L |
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
(2 |
n |
2) |
|
||||
|
Задание 16. Определить шестой член ряда |
( 1) |
|
|
. |
|||||||||||||||||||
|
|
2n 1 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1) –6; |
2) 6; |
3) |
64 |
; |
4) |
64 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
11 |
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
96 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 17. |
Общий член ряда |
1 |
|
1 |
|
1 |
... |
равен … |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
9 |
13 |
|
|
||||
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
1) |
|
|
; 2) |
|
; |
3) |
|
|
; |
|
4) |
|
. |
|
||||
|
4n 1 |
2n 3 |
6n 1 |
|
|
7n 2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(n 4)! x |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Задание 18. |
Ряд |
|
|
|
является… |
|
||||||||||
|
|
|
6n |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
|
2) знакопостоян- |
|
|
3) |
4) знакоперемен- |
|||||||||||
|
числовым; |
|
ным числовым; |
|
степенным; |
ным числовым. |
||||||||||||
Задание 19. Определить разложение функции f(x)=(2x–5)3 в степенной ряд в окрестности точки x0=0.
1) |
8x3 |
60x2 |
150x 125 ; |
2) |
x3 45x2 20x 25 ; |
3) |
8x3 |
60x2 |
150x 125 ; |
4) |
16x3 60x2 12x 25 . |
Задание 20. Получить соответствие между названиями и обозначе-
ниями статистических параметров |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
a) выборочное среднее; |
|
|
|
|
|
|
a) |
V; |
|
|
|
||||
б) коэффициент вариации; |
|
|
|
|
|
|
б) |
r; |
|
|
|
||||
в) размах выборки; |
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
xв ; |
|
|
|
||
г) коэффициент корреляции; |
|
|
|
|
г) |
R. |
|
|
|
||||||
1) |
|
|
|
|
2) |
|
|
|
3) |
|
|
|
4) |
|
|
a – в, б – г, |
|
a – в, б – а, |
|
a – г, б – а, |
|
a – в, б – а, |
|||||||||
в – б, г – а; |
|
в – г, г – б; |
|
в – в, г – б; |
|
в – б, г – г. |
|
||||||||
|
|
|
Ответы к тестовому заданию |
|
|
|
|
||||||||
Номер зада- |
|
1 |
2 |
|
3 |
|
4 |
5 |
6 |
|
7 |
8 |
9 |
|
10 |
ния |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер пра- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вильного |
|
2 |
2 |
|
4 |
|
3 |
4 |
1 |
|
3 |
4 |
1 |
|
1 |
ответа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер зада- |
|
11 |
12 |
|
13 |
|
14 |
15 |
16 |
|
17 |
18 |
19 |
|
20 |
ния |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер пра- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вильного |
|
3 |
3 |
|
2 |
|
4 |
2 |
2 |
|
1 |
3 |
3 |
|
2 |
ответа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СОДЕРЖАНИЕ
97
Введение……………………………………………………………………………… |
3 |
Рекомендуемая литература ………………………………………………………… |
5 |
1. Примерный перечень вопросов 2-го семестра по дисциплине “Математика”.. |
5 |
2.Интегральное исчисление функции одной переменной ……………………….. 7
3.Задания, рекомендуемые для самостоятельного решения по теме “ Интегральное исчисление функции одной переменной ”……………………………….. 23
4.Функция нескольких переменных ………………………..................................... 24
5.Задания, рекомендуемые для самостоятельного решения по теме “ Функция нескольких переменных ” ……………………………............................................... 28
6.Двойные и криволинейные интегралы…………………………………………... 29
7.Задания, рекомендуемые для самостоятельного решения по теме “ Двойные
и криволинейные интегралы ” ……………………………....................................... |
42 |
8.Числовые и функциональные ряды ……………………………………………... 43
9.Задания, рекомендуемые для самостоятельного решения по теме “Числовые
и функциональные ряды” …………………………………………………………... 63
10.Элементы математической статистики ………………………………………... 65
11.Типовой пример выполнения расчетно-графических заданий по теме
“Элементы математической статистики” ………………………………………..... |
81 |
12. Расчетно-графические задания по теме “ Элементы математической статис- |
|
тики” ………………………………………………………………………………… |
89 |
13. Варианты индивидуальных заданий……..…………………………………… |
92 |
14. Спецификация и типовой пример тестовых заданий ………………….…… |
93 |
98