Metodichka_chast_2

3) Найти неопределенные интегралы интегрированием по частям:

4. ФУНКЦИЯ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

4.1. Понятие функции двух переменных.

Будем рассматривать две независимые переменные х и у. Каждой паре значений х и у на плоскости соответствует точка, для которой х и у являются координатами. Возьмем на плоскости множество точек и обозначим его D {x, y} .

24

Величина z называется функцией переменных величин х и у на множестве D, если каждой точке этого множества соответствует одно определенное значение величины z. Обозначается функция z f (x, y).

Множество D называется областью определения функции. Графиком функции двух независимых переменных является неко-

торая поверхность в пространстве.

Рассмотрим функцию z f (x, y) . Положим z C , где С – постоянная величина. Тогда уравнение C f (x, y) дает зависимость между

переменными х и у, при которой заданная функция z сохраняет заданное значение C. Геометрически это означает, что поверхность z f (x, y) пересекается плоскостью z C , параллельной плоскости

xOy . В результате такого пересечения полученная линия проектируется на плоскость xOy и задается уравнением C f (x, y) . При перемещении точки с координатами (x; y) вдоль этой линии функция со-

храняет постоянное значение, равное С.

Линия на плоскости xOy , в каждой точке которой функция z f (x, y) сохраняет постоянное значение, называется линией уровня этой функции.

Пример. Найти линии уровня функции z x2 y2 .

Решение. Поверхность, определяемая функцией z x2 y2 , является параболоидом вращения. Линиями уровня являются концентрические окружности x2 y2 C .

4.2. Частные производные

Предположим, что функция z f (x, y) определена в окрестности точки P0 (x0 , y0 ) . Дадим независимой переменной х приращение x . При этом переменная у будет сохранять свое значение. Тогда функция

приращением функции по переменной х в точке (x0 ; y0 ) . Аналогично определяется частное приращение функции по переменной у в точке

(x0 ; y0 ) : y z f (x0 , y0 y) f (x0 , y0 ) .

Частной производной функции z f (x, y) называется предел от-

ношения частного приращения функции к частному приращению соответствующего аргумента, если последнее стремится к нулю:

25

По определению частная производная функции двух переменных находится как производная функции одной переменной, когда вторая переменная остается постоянной. Поэтому вычисление частных производных ничем не отличается от вычисления производных функции одной переменной и выполняется по тем же правилам.

Пример 1. Найти частные производные функции двух переменных z 2x3 y 7xy 2 3x 5 .

Решение. Найдем частную производную по переменной х, считая переменную у постоянной: zx' 6x2 y 7 y2 3 . Теперь будем считать, что переменная х остается постоянной: z'y 2x3 14xy .

Предположим, что частные производные zx' и z'y функции z f (x, y) в свою очередь являются функциями независимых переменных х и у. Тогда частные производные от этих частных производ-

смешанными и они равны между собой.

Пример 2. Найти частные производные второго порядка функции z x3 y 2 3xy 3 xy 1 .

точкой максимума функции z f (x, y) , если f (x0 , y0 ) есть наибольшее значение функции в окрестности этой точки. Точка P0 (x0 ; y0 ) называется точкой минимума функции z f (x, y) , если f (x0 , y0 )

есть наименьшее значение функции в окрестности этой точки. Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Значение функции в точке максимума называется максимумом функции, а значение функции в точке минимума – минимумом функции. Максимум и минимум функции называются экстремумами функции.

Если в точке P0 (x0 ; y0 ) функция z f (x, y) имеет экстремум, то частные производные функции в этой точке равны нулю, т. е. zx' (x0 , y0 ) 0 и z'y (x0 , y0 ) 0 . Это необходимые условия экстремума.

Точка, в которой обе частные производные равны нулю, называется критической точкой функции z f (x, y) . Для отыскания критиче-

ских точек функции нужно найти ее частные производные, приравнять их нулю и решить систему двух уравнений с двумя неизвестными:

имеет экстремум: максимум при A < 0 и минимум при A > 0;

2)если AC B2 0 , то функция z f (x, y) в точке P0 (x0 ; y0 ) экстремума не имеет;

3)если AC B2 0 , то для определения экстремума нужны дополнительные исследования.

Рассмотренные условия называются достаточными условиями экстремума.

6x2 y2 10x 0,

2xy 2 y 0.

Из второго уравнения 2y(x+1)=0, y=0, x= 1. Подставим у=0 в пер-

Cz'yy' (0,0) 2 0 2 2 , AC B2 10 2 02 10 . Следовательно,

вточке M1(0; 0) функция имеет экстремум. Так как A > 0, то это ми-

2) Исследовать функции на экстремум:

6.ДВОЙНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

6.1.Двойной интеграл и его свойства

Пусть функция f (x, y) определена в некоторой замкнутой области D плоскости xOy . Разобьем область D произвольным образом на n

частей s1, s2 , , sn с площадями s1, s2 , , sn . Внутри каждой элементарной области si выберем произвольную точку Mi (xi ; yi ) и

найдем значение функции f (xi , yi ) в этой точке. Составим сумму:

In f (M1 ) s1 f (M2 ) s2 f (Mn ) sn

точками границы этой области и обозначим di .

Если существует конечный предел последовательности интегральных сумм In при стремлении к нулю наибольшего из диаметров ча-

стичных областей si , не зависящий ни от способа разбиения области D , ни от выбора точек Mi , то он называется двойным интегралом от

6.2.Вычисление двойного интеграла

впрямоугольных декартовых координатах

Впрямоугольной системе координат элемент площади ds можно записать в виде произведения dx dy . Тогда

f (x, y)ds = f (x, y)dxdy .

D D

Область D называется правильной в направлении оси Ox (или

Oy ), если любая прямая, проходящая параллельно этой оси, пересека-

ет границу области D не более, чем в двух точках.

Например, область D на рис. 1 является неправильной в направлении оси Oy и правильной в направлении оси Ox (прямая MN пересе-

кает границу области D в четырех точках).

y

Вычисление двойного интеграла сводится к вычислению повторного интеграла следующим образом.

1) Пусть область D является правильной в направлении оси Оу и

y

D

d

x 2 ( y)

x

x 1 ( y)

c

C

Рис. 3

Формулы перехода от двойного интеграла к повторному показывают, что в двойном интеграле можно изменять порядок интегрирования

Если область интегрирования является неправильной, то ее можно представить как объединение правильных областей. Тогда двойной интеграл равен сумме двойных интегралов по этим областям.

Пример 1. В двойном интеграле f x, y dxdy расставить пределы

D

интегрирования двумя способами, если область D ограничена линия-

Рис. 4

Найдем точки пересечения линий y x 2 , x y 2 , решая систему уравнений,

32