Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусская государственная сельскохозяйственная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Metodichka_chast_2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.02.2016

Размер:

3.33 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 105 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y x2 1, y 0,

x 0 x 0 .

3.Найти массу плоской пластинки D с поверхностной плотностью(x, y) xy , ограниченной линиями y x , y 2x , x 2 .

4.Найти объем тела V, ограниченного параболическим цилиндром

y x2 и плоскостями y z 4 , z 0.

5. Найти массу плоской пластинки D с поверхностной плотностью

x2 y2

9 ,

(x, y)

x2 y2 , ограниченной

линиями

x2 y2 4 ,

x 0 , y 0 x 0, y 0 .

Найти

2xydx x2dy , если LOA

– дуга кривой

, заключенная

LOA

между точками O 0; 0 и A 2; 1 .

Показать, что выражение

является пол-

2xy

ным дифференциалом функции U x,

y . Найти функцию U x, y .

Вычислить работу, производимую силой

xy 2i

x2 yj вдоль от-

резка прямой от точки B 0; 0

до точки C 2; 1 .

Найти

xy 1 dx x2 ydy ,

где

LAB –

дуга

эллипса

x cos(t),

LAB

y 2sin(t) от точки A 1; 0 до точки B 0; 2 .

8.ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

8.1.Основные понятия числового ряда

Сумма числовой последовательности (an ) a1, a2 , a3 , ...,an , ...–

a1 a2 a3 ... an ... an

n 1

называется числовым рядом, числа a1, a2 , a3 , ...,an , ... – членами ряда, а число an – n- ым членом ряда.

Числовой ряд задают обычно перечислением его элементов или указанием формулы, с помощью которой для заданного n можно вычислить n-ый член ряда.

Например, числовыми рядами являются следующие выражения:


	1 4 16 ... 4n ... 4n ,
						n 0

1	1	1	...	1		...	1		.
1 2	2 4	3 8	...	n 2	n	...	n 2	n	.
1 2	2 4	3 8		n 2		n 1	n 2
						n 1

n-ой частичной суммой ряда называется сумма n первых членов ряда

Sn a1 a2 ... an ak .

k 1

Например, S1 a1, S2 a1 a2 , S3 a1 a2 a3 ,..., Sn a1 a2 ... an .

Если существует конечный предел последовательности (Sn ) частичных сумм ряда

lim Sn S,

то ряд называется сходящимся, а число S – суммой данного ряда:

S a1 a2 ... an ... an .

n 1

Если предел последовательности (Sn ) не существует или равен

бесконечности, то ряд называют расходящимся. n-ым остатком ряда называется ряд вида

rn an 1 an 2 ... ak .

k n 1

Для сходящегося ряда справедливо равенство

lim rn 0.

Числовые ряды обладают следующими свойствами:

– Сходимость или расходимость ряда не нарушится, если изменить, отбросить или добавить конечное число членов ряда.


– Если ряды ak	и bk
k 1	k 1

равны S и , то ряд (ak bk )

k 1

(ak

k 1

сходятся и их суммы соответственно

также сходится, причем

bk ) S .


– Если ряд ak сходится и его сумма равна	S , то ряд ak
k 1	k 1

также сходится и ak S , где = const.

–Разность двух сходящихся рядов есть сходящийся ряд.

–Сумма сходящегося и расходящегося рядов будет расходящимся рядом.

При изучении рядов решают в основном две задачи: исследование на сходимость и нахождение суммы ряда.

8.2. Положительные ряды. Эталонные ряды.

Среди числовых рядов выделяются ряды, все члены которых неотрицательны. Такие ряды называют положительными.

У таких рядов последовательность Sn его частных сумм является

возрастающей и, поэтому, для их сходимости достаточно, чтобы последовательность Sn была ограниченной.

Среди положительных числовых рядов выделяют следующие:


1.	qn 1			1 q q2					qn –					ряд геометрической про-
	n 1
грессии;
		1
2.			1		1		1			1	– гармонический ряд;
2.			1								– гармонический ряд;
	n 1	n		2			3			n
	n 1
		1				1		1				1
3.				1		1		1				1	–	обобщенный гармонический

		n				2		3				n
	n 1	n				2		3				n

ряд.

По виду этих рядов можно сразу же сказать сходится он и расходится.

Например, ряд геометрической прогрессии сходится, если q 1 и расходится при q 1.

Гармонический ряд расходится.

Обобщенный гармонический ряд сходится, если 1 и расходится при 1 .

Зачастую данные ряды используются для исследования сходимости или расходимости более сложных рядов, поэтому эти ряды называют

эталонными.

8.3. Признаки сходимости положительных рядов

Для исследования рядов на сходимость используются следующие признаки:

Достаточное условие расходимости ряда: Если предел lim an не

равен нулю или не существует, то ряд an расходится. Однако из

n 1

условия lim an 0 не следует сходимость ряда.

Например, рассмотрим ряд

1 2 3 ... n.

n 1

Очевидно, что lim n . Значит, данный ряд расходится.

Пример 1 . Исследовать сходимость ряда

	1			2		3	...					n		...
							...				3n 1			...
	2		5		8						3n 1
Решение. Найдем lim			n		lim				1				1	0 – необходимый при-
Решение. Найдем lim		3n 1			lim					1			3	0 – необходимый при-
n		3n 1				n				1			3
								3
								3			n
знак сходимости не выполняется, значит, ряд расходится.
Вывод о сходимости или расходимости положительного ряда мож-

но сделать на основании сравнения членов этого ряда с членами некоторого эталонного ряда, поведение которого известно. Рассмотрим признаки сравнения, использующие данный факт.


Признак сравнения: Если для членов рядов an								и bn спра-
							n 1	n 1
ведливо неравенство 0 an bn для любого n n0 , то:

1) из сходимости ряда bn				следует сходимость ряда an ;
	n 1							n 1

1) из расходимости ряда an					следует расходимость ряда bn .
		n 1						n 1
Пример 2. Исследовать на сходимость ряд
1				1	1
					...		...
	ln(2)		ln(3)		...	ln(n)	...
					46

Решение. Применим признак сравнения. Так как

, а гар-

ln(n)

расходится, то расходится и ряд

монический ряд

ln(n)

n 1

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд

n 1

Решение. Применим признак сравнения. Очевидно, что справедли-

во неравенство

. Ряд

является рядом геометрической

прогрессии, сходящимся так

1 . Поэтому ряд

тоже

n2n

n 1

сходится.

Предельный признак сравнения: Если для членов рядов

an ,

n 1

an 0, и bn ,

bn 0,

существует и конечен предел

n 1

то ряды an и

n 1

lim an , где 0 ,

n bn

bn сходятся или расходятся одновременно.

n 1

При применении признаков сравнения для исследования сходимости числовых рядов в качестве эталонных рядов чаще всего используются гармонический и обобщенный гармонический ряды.

										1
Пример 4 . Исследовать сходимость ряда										1		.



									n 1	n5	1
Решение. Применим признак сравнения. Так как
				1	1		1		,
									,
				n5 1		n5		5
				n5 1		n5	n 2
	1												5
а ряд	1		как обобщенный гармонический с показателем										5	1

		5											2
n 1	n 2												2

сходится, то исходный ряд также сходится.

Здесь можно применить и предельный признак сравнения. Возьмем

в качестве эталонного к исходному ряд вида

. Тогда вычислим

n 1

n 2

предел lim

lim

1 .

n b

Так как =1 0, то исходный ряд и эталонный ряд ведут себя одинаково в смысле сходимости. Эталонный ряд сходится как обобщенный

гармонический ряд с показателем			5	1 , поэтому и ряд
гармонический ряд с показателем			2	1 , поэтому и ряд
			2
	1
	1	тоже сходится.


	n5 1
n 1	n5 1

Если n-ый член ряда представляет собой отношение степенных выражений, то для исследования на сходимость такого ряда применяют предельный признак сравнения. При этом в качестве эталонного ряда выбирают обобщенный гармонический ряд с показателем степени знаменателя равным =p2–p1, где p2– показатель степени знаменателя, а p1– показатель степени числителя данного ряда.


						n 3
Пример 5 . Исследовать сходимость ряда						n 3
							.
					n 5		.
				n 1
Решение. n -ый член ряда a			n 3	представляет собой отноше-
Решение. n -ый член ряда a	n			представляет собой отноше-
	n	n 5
		n 5

ние степенных выражений. Поэтому для исследования на сходимость применим предельный признак сравнения. В качестве эталонного ряда выберем обобщенный гармонический ряд с показателем степени зна-

	1	1			1
менателя равным =p2–p1=1			, т.е. ряд вида				.
	2	2
						n
				n 1

Тогда по предельному признаку сравнения вычислим предел

n 3

n 2

n 3

lim

1 .

n b

n 5

Так как =1 0, то исходный ряд и эталонный ряд ведут себя одинаково в смысле сходимости. Эталонный ряд расходится как обобщен-

ный гармонический ряд с показателем				1	1 , поэтому и ряд
ный гармонический ряд с показателем				2	1 , поэтому и ряд
				2

	n 3		тоже расходится.
	n 3
n 5
n 5
n 1
		48

Признак Д’Аламбера: Пусть для ряда an , an 0, существует

		n 1
предел lim	an 1	Тогда возможны три случая:
предел lim	a	Тогда возможны три случая:
n	a
	n

1)если 1 данный ряд сходится;

2)если 1 данный ряд расходится;

3)при 1 признак Д’Аламбера не дает ответа на вопрос о сходимости или расходимости ряда. В этом случае сходимость или

расходимость ряда устанавливается с помощью других признаков.

Пример 6 . Исследовать сходимость ряда

				2			3							4											n										n
	3		3				3					3							...					3			...							3		.
	3		5				5					5							...						5		...							5		.
	2						3			4														n							n 1n
Решение.	Применим								признак												Д’Аламбера.													Запишем			n -ый	и
n 1 - ый члены ряда:
						an				3n					,				an 1							3n 1				.
						an				n5					,				an 1						n 1 5					.
Вычислим предел
lim		an 1			lim								3n 1							:	3n				lim						3n 1 n5
lim					lim															:	n5				lim
n	a					n (n 1)5															n5						n	(n 1)5 3n
		n
											n					5												1
		lim 3																	3 lim														3.
		lim 3																	3 lim												5		3.
		n					n							1								n							1		5
																											1
																											1
																													n
Так как 3 1 , то данный ряд расходится.
Пример 7 . Исследовать сходимость ряда

		1			1			1						1				...				1			...								1		.
		1																...							...										.
				2!			3!			4!													n!						n 1				n!
																													n 1
( n! 1 2 3 ... n и называется «эн-факториал»,																															0! 1 ).
Решение.	Применим							признак												Д’Аламбера.														Запишем			n -ы й	и
n 1 -ый члены ряда:
							a						1				,			a								1				.
							a		n								,			a	n 1											.
									n					n!							n 1						n 1 !
														n!													n 1 !

Вычислим предел

lim

an 1

lim

1)!

n (n 1)!

lim

0 .

n!(n 1)

n n 1

Поскольку 0 1, то данный ряд сходится.

Радикальный признак Коши: Если для ряда an , an 0, суще-

n 1

ствует предел lim n an , то:

1) при 1 ряд an сходится;

n 1

2) при 1 ряд an расходится;

3)при 1 радикальный признак Коши не применим.

3n 1

Пример 8 . Исследовать сходимость ряда

n 1

Решение. Так как

3n 1

lim n an

lim n

lim

n n 4

n n

то данный ряд расходится по радикальному признаку Коши.

Интегральный признак Коши: Если функция (x) на промежутке


[1; )	монотонно убывает и неотрицательна, то ряд an n и
	n 1	n 1

несобственный интеграл (x)dx ведут себя одинаково в смысле схо-

димости.

Пример 9 . Исследовать сходимость обобщенного гармонического ряда


1 .
n 1	n3

Решение. Обозначим n													1		и рассмотрим			функцию (x)						1		.
														3											3
													n 2											x 2
Функция (x)					1			монотонно убывает и положительна на промежут-
Функция (x)						3		монотонно убывает и положительна на промежут-
						3
					x 2

ке [1; ) . Вычислим несобственный интеграл f x dx																					dx		.
ке [1; ) . Вычислим несобственный интеграл f x dx																					x p		.
																1			1
				b			3				1		b
													b


									2
	dx		lim		x		2 dx lim x		2										(0 1) 2

		3								1
		3
1 x 2			b	1				b							x		x
1 x 2				1				b	2			1			x		x
									2			1

Следовательно, обобщенный гармонический ряд																				1		сходится.


																		n 1		n3

8.4. Знакочередующиеся ряды

Числовой ряд an , члены которого имеют разные знаки, называ-

n 1

ется знакопеременным.

Справедливо утверждение: Если сходится ряд, составленный из аб-

солютных величин членов знакопеременного ряда an , то сходится

n 1

и ряд an .

n 1

Обратное утверждение, вообще говоря, неверно, т.е. из сходимости

ряда an не следует сходимость положительного ряда an .

n 1	n 1

Ряд вида	a1 a2 a3 a4 1 n 1 an называется знакочере-
	n 1

дующимся.

Для исследования сходимости знакочередующихся рядов применяют признак Лейбница.

Признак Лейбница: Если члены знакочередующегося ряда

( 1)n 1 an

удовлетворяют условиям:

n 1

1) an an 1 для n N;

2) lim an 0,

то ряд ( 1)n 1 an

сходится, а его сумма S не превосходит первого

n 1

члена, т.е.

S a1.

Пример 1 . Исследовать на сходимость ряд

1 n

n 1

Решение.

Рассмотрим ряд

1 n

Для

него

, причем,

n 1

, т.е. члены ряда образуют монотонно убывающую

n 1

последовательность a

lim a

lim

0 . Поэтому ряд сходится.

n n

an удобно

Для исследования монотонности последовательности

ввести некоторую вспомогательную (дифференцируемую) функцию f x такую, что f n an , n N , и исследовать функцию f x на

монотонность, воспользовавшись критерием монотонности дифференцируемой функции.

Пример 2 . Исследовать на сходимость ряд 1 n

n 1

Решение. Для ряда 1 n

последовательность an

n 1

стремится к нулю при

n . Для исследования монотонности после-

довательности

рассмотрим

вспомогательную функцию

f x

. Заметим, что a

f n . Поскольку

x 1

1 2x

1 x

2 x

f x

x 1 2

2 x x 1 2 2 x x 1 0 .

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 105 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
29.02.2016155.39 Кб94makroekonomika 3 k 6 c.pdf
#
29.02.20161.59 Mб20Makroekonomika — копия.pdf
#
29.02.20165.13 Mб192matem.doc
#
28.09.2019164.35 Кб18materialka_otvety_shporka_na_pechat.doc
#
29.02.2016562.18 Кб12metodichka.doc
#
29.02.20163.33 Mб20Metodichka_chast_2.pdf
#
29.02.2016900.1 Кб87Metodichka_MKhZ.doc
#
29.02.2016274.43 Кб67Metodichka_trudovoe_pravo_2.doc
#
12.09.2019559.62 Кб9Metodich_rekomendatsii_po_studencheskim_rabotam...doc
#
29.02.20161.12 Mб37METOD_PO_KURSOV_RAB_posle_red_Konstantinovym.doc
#
29.02.20161.3 Mб66METOD_PO_KURSOV_RAB_posle_red_Konstantinovym.doc