Теорема Чебышева
Теорема Чебышева. Если случайные величины , ,…, независимы, имеют соответственно математические ожидания , ,…, и дисперсии , ,…, , каждая из которых ограничена одним и тем же числом, то с возрастанием средняя арифметическая случайных величин , ,…, сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий
6. Теорема Бернулли
Теорема Бернулли. Частость событияв независимых повторных испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью, при неограниченном увеличении числа испытанийсходится по вероятности к вероятностиэтого события в отдельном испытании
.
7. Теорема Пуассона.
Теорема Пуассона. Частость событияв независимых повторных испытаниях, в каждом из которых оно может произойти соответственно с вероятностями,, …,при неограниченном увеличении числа испытанийсходится по вероятности к средней арифметической вероятностей этого события в отдельных испытаниях
Интегральная теорема Муавра – Лаплапса.
7.3. Центральная предельная теорема Ляпунова. Следствия.
Рассмотренные выше теоремы закона больших чисел устанавливали факт приближения средней большого числа случайных величин к определенным постоянным. Но этим не ограничиваются закономерности, возникающие в результате суммарного действия случайных величин. Оказывается, что при некоторых условиях совокупное действие случайных величин приводит к определенному, а именно — к нормальному закону распределения.
Центральная предельная теорема представляет собой группу теорем, посвященных установлению условий, при которых возникает нормальный закон распределения.
Среди этих теорем важнейшее место принадлежит теореме Ляпунова.
Теорема Ляпунова. Если случайные величины , ,…, независимы, и у каждой из них существует математическое ожидание , дисперсия , абсолютный центральный момент третьего порядка , причем
,
то закон распределения суммы принеограниченно приближается к нормальному закону распределения с математическим ожиданиеми дисперсией.
Теорему принимаем без доказательства.
Смысл теоремы состоит в том, чтобы в сумме влияние слагаемых должно быть мало по сравнению с суммарным влиянием остальных, т.е. удельный вес каждого отдельного слагаемого должен стремиться к нулю при увеличении числа слагаемых.
Так, например, потребление электроэнергии для бытовых нужд за месяц в каждой квартире многоквартирного дома можно представить в виде различных случайных величин. Если потребление электроэнергии в каждой квартире по своему значению резко не выделяется среди остальных, то на основании теоремы Ляпунова можно считать, что потребление электроэнергии всего дома, т.е. сумма независимых случайных величин будет случайной величиной, имеющей приближенно нормальный закон распределения. Если, например, в одном из помещений дома разместится вычислительный центр, у которого уровень потребления электроэнергии несравнимо выше, чем в каждой квартире для бытовых нужд, то вывод о приближенно нормальном распределении потребления электроэнергии всего дома будет неправомерен, т.к. потребление электроэнергии вычислительного центра будет играть превалирующую роль в образовании всей суммы потребления.
Следствие 1. Если случайные величины , ,…, независимы, и у каждой из них существует математическое ожидание , дисперсия , абсолютный центральный момент третьего порядка , то закон распределения суммы принеограниченно приближается к нормальному закону распределения.
Следствие 2. Если все случайные величины , ,…, одинаково распределены, то закон распределения их суммы неограниченно приближается к нормальному закону при .