Тема 7. Закон больших чисел и предельные теоремы

План темы

1. Неравенство Маркова

2. Неравенство Чебышева.

3. Частные случаи неравенства Чебышева.

4. Сходимость по вероятности

5. Теорема Чебышева

6. Теорема Бернулли

7. Интегральная теорема Муавра – Лаплапса.

При изучении массовых однородных случайных явлений обнаруживаются определенные устойчивые закономерности, которые проявляются тем точнее, чем большее число явлений рассматривается. Приведем несколько примеров.

Пример 1. Организуется или реорганизуется работа столовой с целью повышения качества обслуживания. Неизвестно какое количество посетителей придет в нее в определенные промежутки времени, какие блюда они будут заказывать, и сколько времени будет продолжаться обслуживание каждого посетителя. Однако существуют вполне определенные средние величины, которые позволяют укомплектовать столовую обслуживающим персоналом, оборудованием, завезти необходимое количество продуктов и т.д.

Пример 2.

Таких примеров можно привести множество. Во всех этих примерах проявляется общий принцип закона больших чисел, который академик А.Н. Колмогоров сформулировал следующим образом: «Совокупное действие большого числа случайных факторов приводит (при некоторых, весьма общих, условиях) к результату почти не зависящему от случая». Иначе закон больших чисел можно сформулировать следующим образом: при большом числе случайных величин их средний результат перестает быть случайным и его можно предсказать с большой степенью определенности. На этом положении основано практическое применение закона больших чисел.

Нас закон больших чисел будет интересовать с математической точки зрении, а именно, при каких условиях случайные величины подчиняются закону больших чисел. Эти вопросы решаются с помощью теорем Маркова, Чебышева, Бернулли, которые составляют сущность закона больших чисел в узком смысле.

1. Неравенство Маркова.

Теорема. Если случайная величина принимает только неотрицательные значения и существует ее математическое ожидание , то для любого положительного числавыполняется неравенство

. (1)

Неравенство (1) будем называть первым неравенством Маркова.

.

Следствие. Если случайная величина принимает только неотрицательные значения и существует ее математическое ожидание , то для любого положительного числавыполняется неравенство

. (5)

Неравенство (5) будем называть вторым неравенством Маркова.

Пример.Отделение банка обслуживает в среднем 100 клиентов в день. Оцените вероятность того, что в определенный день в отделении банка будет обслужено:

а)не более 200 клиентов;

б)более 150 клиентов.

Пример. Сумма всех вкладов в отделение банка со­ставляет 2 млн гр., а вероятность того, что случайно взятый вклад не превысит 10 тыс. гр., равна 0,6. Что можно сказать о числе вкладчиков.