2. Неравенство Чебышева.

Теорема. Для любой случайной величины ,имеющей конечную дисперсию , и произвольного положительного числавыполняется неравенство

, (1)

которое называется первым неравенством Чебышева

Следствие. Для любой случайной величины имеющей конечную дисперсию , и произвольного положительного числавыполняется неравенство

, (5)

которое называется вторым неравенством Чебышева.

Отметим, что неравенства Чебышева выполняются при любом законе распределения случайной величины лишь при условии, что дисперсияконечна.

3. Частные случаи неравенства Чебышева.

Неравенство Бернулли

Рассмотрим схему независимых повторных испытаний Бернулли, т.е. будем предполагать, что производитсянезависимых повторных испытаний, в каждом из которых событиенаступает с одной и той же вероятностью.

Первый частный случай.

Теорема. Вероятность того, что частотанаступления событиявнезависимых повторных испытаний отклонится отпо модулю на величину не превосходящуюопределяется по формуле

. (1)

Второй частный случай Неравенство Бернулли.

Теорема. Вероятность того, что относительная частота наступления события внезависимых повторных испытаниях отклонится от вероятностинаступления событияв отдельном испытании по модулю на величину, не превосходящую, определяется по формуле

. (4)

4. Сходимость по вероятности

Напомним, что в математическом анализе было дано следующее определение сходимости числовой последовательности.

Определение. Числовая последовательность сходится к числу , если для любого числа, существует такой номер, что при всехвыполняется неравенство

.

Рассмотрим теперь последовательность случайных величин , для которой введем понятие сходимости по вероятности.

Определение. Последовательность случайных величин , сходится по вероятности к величине , если для любого числа, вероятность выполнения неравенствас увеличениемстремится к единице, т.е.

.

Отметим различия в определениях сходимости числовой последовательности и сходимости по вероятности последовательности случайных величин. Для сходимости числовой последовательности существенно существование номера ,начиная с которого выполняется неравенство .

В случае сходимости по вероятности такого номера не существует. Возможно, что сколь большим ни было число, неравенство выполняться не будет. Из равенства (1) только следует, что при большихвыполнение неравенства является событием практически достоверным, а выполнение неравенства противоположного смысла – событием практически невозможным.