- •Тема 2. Выборочный метод
- •Понятие оценки параметров
- •3. Оценка параметров генеральной совокупности по собственно - случайной выборке.
- •Оценка генеральной дисперсии.
- •6. Понятие интервального оценивания. Доверительная вероятность и предельная погрешность выборки
- •Нахождение доверительного интервала для генеральной средней и генеральной доли по большим выборкам.
- •Три типа задач на выборочный метод.
Тема 2. Выборочный метод
План темы
1. Общие сведения о выборочном методе
2. Понятие оценки параметров
3. Методы построения статистических оценок
4. Оценка параметров генеральной совокупности собственно-случайной выборки.
5. Понятие интервального оценивание. Доверительная вероятность предельная погрешность выборки.
7. Оценка характеристик генеральной совокупности по малой выборке.
Общие сведения о выборочном методе
Различают два вида статистических наблюдений: сплошное, когда изучаются все объекты совокупности, ивыборочное, когда изучается часть объектов.
Примером сплошного наблюдения является перепись населения, охватывающая все население страны. Выборочными наблюдениями являются, например, проводимые социологические исследования, охватывающие часть населения страны, области, района и т. д.
Определение. Статистическая совокупность, распределение которой изучается по интересующему нас признаку, называется генеральной совокупностью.Количество элементов генеральной совокупности будем называть объемом генеральной совокупности и обозначать .
Генеральная совокупность может иметь как конечный, так и бесконечный объем. В математической статистике понятие генеральной совокупности трактуется как совокупность всех мыслимых наблюдений, которые могли бы быть произведены при данном реальном комплексе условий, и в этом смысле его не следует смешивать с реальными совокупностями, подлежащими статистическому изучению. Так, обследовав даже все предприятия подотрасли по определенным технико-экономическим показателям, мы можем рассматривать обследованную совокупность лишь как представителя гипотетически возможной более широкой совокупности предприятий, которые могли бы функционировать в рамках того же реального комплекса условий.
Изучить всю генеральную совокупность с помощью сплошного наблюдения часто бывает невозможно, что объясняется следующими причинами:
элементы генеральной совокупности не досягаемы для исследования (звезды Вселенной, глубины океана и т.д.);
исследование генеральной совокупности связано с уничтожение изучаемых предметов (исследование тросов на прочность, лампочки на длительность горения и т.д.);
исследование генеральной совокупности связано с дороговизной и сложностью проведения каждого отдельного опыта;
элементы генеральной совокупности не существуют в природе (будущее состояние финансов, будущие потребности потребителей в некотором товаре и т.д.).
Поэтому в статистических исследованиях часто применяется выборочный метод.
Отметим, что теоретическую основу применимости выборочного метода составляет закон больших чисел, согласно которому при неограниченном увеличении объема выборки практически достоверно, что случайные выборочные характеристики как угодно близко приближаются (сходятся по вероятности) к соответствующим параметрам генеральной совокупности.
Выборочный метод заключается в том, чтобы по некоторой части генеральной совокупности (выборке) сделать вывод о свойствах генеральной совокупности в целом.
Отметим, что теоретическую основу применимости выборочного метода составляет закон больших чисел, согласно которому при неограниченном увеличении объема выборки практически достоверно, что случайные выборочные характеристики как угодно близко приближаются (сходятся по вероятности) к соответствующим параметрам генеральной совокупности.
Будем последовательно извлекать из генеральной совокупности ее элементы, выбирая их случайным образом (наудачу), измерять и записывать значения некоторого признака для них: ,, ...,.Понятно, что наблюдения представляют собой случайные величины в силу случайности нашего выбора объекта.
Определение. Часть объектов, которая отобрана для непосредственного изучения из генеральной совокупности, называется выборочной совокупностью или выборкой.
Число элементов в выборочной совокупности называется объемом выборки и обозначается .
Выборочными наблюдениями являются, например, проводимые социологические исследования, охватывающие часть населения страны, области, района и т. д.
Определение. Выборка называется случайной или собственно-случайной, если каждый элемент из генеральной совокупности может попасть в выборку с одинаковой вероятностью, не зависящей от изучаемого признака.
Определение. Выборка называется повторной, если отобранный объект перед началом следующего выбора возвращается в генеральную совокупность
Таким образом, при повторной выборке объекты из генеральной совокупности извлекаются по схеме возвращенного шара из урны. В рассматриваемом случае выборка может несколько раз содержать один и тот же объект генеральной совокупности.
Определение. Выборка называется бесповторной, если отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.
Если выборкабесповторна, то объекты из генеральной совокупности извлекаются по схеме невозвращенных шаров из урны, т. е. каждый объект генеральной совокупности может попасть в выборку не более, чем один раз, Для конечной генеральной совокупности случайный отбор без возвращения на каждомшаге приводит к зависимости отдельных наблюдений, случайный равновозможный выбор с возвращением — к независимости наблюдений. На практике обычно имеют дело с бесповторными выборками. Тем не менее, когда объем генеральной совокупности во много раз больше, чем объем выборки (например, в сотни и тысячи раз), зависимостью наблюдений можно пренебречь.
Применяются и другие способы случайного отбора в зависимости от характера генеральной совокупности. К ним относятся:
типичнаявыборка - генеральная совокупность разбивается по некоторому признаку на группы, из которых осуществляется случайный отбор элементов, пропорционально объему группы;
механическая (систематическая) выборка. Элементы из генеральной совокупности отбираются через некоторый промежуток (например, каждый десятый объект);
Серийная (кластерная)выборка. Генеральная совокупность разбивается на серии (кластеры) и случайно выбранные серии подчиняются сплошному обследованию.
Определение. Если случайная выборка такова, что по ее распределению по некоторому признаку можно судить о распределении по этому же признаку неизвестной нам генеральной совокупности, то такая выборка называется репрезентативной, т. е. представляющей генеральную совокупность.
Пример.
Основными задачами выборочного метода, основанного на анализе собственно-случайной выборки, являются следующие две взаимосвязанные проблемы:
1) проблема репрезентативности выборки – как организовать выборочное обследование, которое бы результаты выборочного обследования наиболее полно характеризовали генеральную совокупность;
2) проблема оценки – как использовать результаты выборки для выводов за ними с наибольшей надежностью о свойствах и соответствующих параметрах генеральной совокупности.
Математическая теория выборочного метода основана на анализе собственно-случайной выборки, которую в дальнейшем будем рассматривать.