- •Тема 2. Выборочный метод
- •Понятие оценки параметров
- •3. Оценка параметров генеральной совокупности по собственно - случайной выборке.
- •Оценка генеральной дисперсии.
- •6. Понятие интервального оценивания. Доверительная вероятность и предельная погрешность выборки
- •Нахождение доверительного интервала для генеральной средней и генеральной доли по большим выборкам.
- •Три типа задач на выборочный метод.
Понятие оценки параметров
Примем такие обозначения:
- объем генеральной совокупности (количество элементов);
– среднее значение признака в генеральный совокупности (генеральная средняя);
– дисперсия признака в генеральной совокупности (генеральная дисперсия);
- объем выборочной совокупности;
– выборочная средняя;
– выборочная дисперсия.
Задача оценки параметров заключается в том, чтобы по результатам одной виборки с достаточной надежностью оценить значение характеристик генеральной совокупности.
Оценка называется точечной, если она выражается одним числом.
Задачу оценки можно разделить на две части: какую величину (выборочной средней, выборочной дисперсии или частости), вычисленной по выборочной совокупности, принять в качестве приближенного значения характеристики генеральной совокупности (точечная оценка); в каком интервале этой величины будет находится с заданной надежностью генеральная характеристика (интервальная оценка).
Оценка параметрагенеральной совокупности является случайной величиной, которая зависит от распределения признака и объема выборки. С точки зрения математической статистики, оценкапараметраявляется качественной, если она удовлетворяет трем наиболее важным свойствам: несмещенности, состоятельности и эффективности.
Определение. Оценка параметра называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру , т.е.
В противном случае оценка называетсясмещенной.
Выполнение этого свойства гарантирует отсутствие систематической погрешности при оценивание.
Определение. Оценка параметраназывается состоятельной, если она сходимость по вероятности к оцениваемому параметру
или.
Определение. Несмещенная оценкапараметра называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещенных оценок параметра , вычисленных по выборкам одинакового объема .
Эффективность оценки является определяющим свойством качества оценки.
3. Оценка параметров генеральной совокупности по собственно - случайной выборке.
Рассмотрим сначала качественный признак, который может приобретать два альтернативных значения.
Оценка генеральной доли.Пусть генеральная совокупность состоит изэлементов, из которыхобладают некоторым признаком. Необходимо найти «наилучшую» оценку генеральной доли.
Рассмотрим в качестве такой оценки параметра его статистический аналог - выборочную долю.
1. Для повторной выборки.Выборочную долю можно представить как среднюю арифметическуюальтернативных случайных величин, т.е.
,
где случайная величина выражает появление признакав-ом элементе выборки ( =1, при наличии признака, и=0, при отсутствии признака). Таким образом, случайные величиныимеют одинаковый закон распределения:
|
0 |
1 |
|
|
|
Случайные величины независимы в совокупности.
Теорема. Выборочная доля повторной выборки является несмещенной, состоятельной и эффективной оценкой генеральной доли,причем ее дисперсия определяется по формуле
(2.4)
Доказательство.
2. Для бесповторной выборки.В этом случае случайные событиязависимы, но справедливо следующая теорема.
Теорема. Выборочная доля бесповторной выборки является несмещенной и состоятельной оценкой генеральной доли,причем ее дисперсия вычисляется по формуле
(2.5)
Доказательство.
Оценка генеральной средней.
Пусть из генеральной совокупности объемом N отобрана случайная выборка, где– случайная величина, которая выражает значение признака yі-го элемента выборки. Необходимо найти «наилучшую» оценку для генеральной средней
.
Рассмотрим в качестве оценки выборочную среднюю .
1. Выборка повторная. Закон распределения для каждой случайной величиныХі одинаковый:
i |
|
|
… |
|
P |
M1/N |
M2/N |
… |
Mk/N |
Случайные величины Хі ) независимы в совокупности. Числовые характеристики каждой случайной величиныХі это соответственно генеральная средняяи генеральная дисперсия.
Действительно,
, (2.6)
, (2.7)
т.е.математическое ожидание и дисперсия случайных величинХі это соответственно генеральная средняяи генеральная дисперсия.
Теорема. Выборочная средняя повторной выборки является несмещенной и состоятельной оценкой генеральной средней и для нее выполняется равенство
(2.8)
Доказательство.
Замечание. В случае, когда распределение генеральной совокупности нормальный, то будет и эффективной оценкой.
2.Выборка бесповторная.В случае бесповторной выборки случайные величиныбудут зависимыми.
Теорема. Выборочная средняя бесповторной выборки является несмещенной и состоятельной оценкой генеральной средней, а дисперсия ее вычисляется по формуле:
(2.9)
Теорему принимаем без доказательства.