на классе функций из пространства C2 [a, b], графики которых проходят через точки массива (xi, yi), i = 0, 1, . . . , m.

Решение. Среди всех функций, которые проходят через опорные точки (xi, f(xi)) и принадлежат упомянутому пространству, именно кубический сплайн S(x), удовлетворяющий краевым условиям S00(a) = S00(b) = 0, предоставляет экстремум (минимум) функционала I(f).

Обратная интерполяция

Часто на практике возникает задача о поиске по заданному значению функции значения аргумента. Эта задача решается методами обратной интерполяции. Если заданная функция монотонна, то обратную интерполяцию проще всего осуществить путем замены функции аргументом и наоборот и последующего интерполирования. Если заданная функция не монотонна, то этим приемом воспользоваться нельзя. Тогда, не меняя ролями функцию и аргумент, записываем ту или иную интерполяционную формулу; используя известные значения аргумента и, считая функцию известной, решаем полученное уравнение относительно аргумента.

Оценка остаточного члена при использовании первого приема будет такая же, как и при прямой интерполяции, только производные от прямой функции нужно заменить производными от обратной функции. Оценим ошибку второго метода. Если нам задана функция f(x) и Ln (x) — интерполяционный многочлен Лагранжа, построенный для этой функции по узлам x0, x1, x2, . . . , xn, то

f(n+1) (ξ)

f (x) − Ln (x) = (n + 1)! (x − x0) . . . (x − xn) .

Предположим, что нам надо найти значение x¯, при котором f (¯x) = y¯ (y¯ задано). Будем решать уравнение Ln (x) = y¯ . Получим некоторое значение x¯. Подставляя в предыдущее уравнение, получим:

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель

из последнего выражения вытекает:

|x¯ − x¯| 6 m1 (n + 1)! |$n (x¯)| .

При этом, конечно, предполагается, что уравнение Ln (x) = y¯ мы решили точно.

Применение интерполяции для составления таблиц

Теория интерполяции имеет применение при составлении таблиц функций. Получив такую задачу, математик должен решить перед началом вычислений ряд вопросов. Должна быть избрана формула, по которой будут проводиться вычисления. Эта формула может изменяться от участка к участку. Обычно формулы для вычисления значений функции бывают громоздкими и потому их используют для получения некоторых опорных значений и потом, путем субтабулирования, сгущают таблицу. Формула, которая дает опорные значения функции, должна обеспечивать нужную точность таблиц с учетом следующего субтабулирования . Если нужно составить таблицы с постоянным шагом, то сначала надо определить ее шаг.

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель

Чаще всего таблицы функций составляются так, чтобы была возможной линейная интерполяция (то есть интерполяция с использованием первых двух членов формулы Тейлора). В этом случае остаточный член будет иметь вид

R1 (x) = f00 (ξ)h2t(t − 1).

2!

Здесь ξ принадлежит интервалу между двумя соседними табличными значениями аргумента, в котором находится x, а t заключен между 0 и 1. Произведение t(t − 1) принимает наибольшее по модулю

значение при t = 12.Это значение равняется 14. Итак,

Чтобы ошибка интерполяции не превышала по абсолютной величине a, необходимо выбрать h , ко-

r

Нужно помнить, что рядом с этой ошибкой — ошибкой метода, при практическом вычислении промежуточных значений будут возникать еще неустранимая погрешность и погрешность округлений. Как мы видели раньше, неустранимая погрешность при линейной интерполяции будет равной погрешности табулированных значений функции. Погрешность округления будет зависеть от вычислительных средств и от программы вычислений.

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель

Предметный указатель

разделенные разности второго порядка, 8 первого порядка, 8

сплайн, 15

узлы интерполяции, 4

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель