kontrolnye / Обчислювальна математика / Лекции / r8
.pdfРаздел ¹ 8. Численное интегрирование
Содержание
Квадратурные формулы Ньютона-Котеса |
4 |
Формула Симпсона |
7 |
Устойчивость квадратурного процесса |
11 |
Предметный указатель |
16 |
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
Задача численного интегрирования функции заключается в вычислении приближенного значения |
|||||||||
определенного интеграла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I = Za |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x)dx |
|
|
|
|
|||
на основе ряда значений подынтегральной функции |
f(x)|x=xk |
= f(xk) = yk . |
. При этом |
||||||
|
|
|
Задается сетка |
{a = x0 |
< x1 < . . . < xn = b} |
||||
Общий подход к решению задачи следующий. |
|
|
|
|
|
||||
шаг разбиения h = xi − xi−1. Определенный интеграл I представляет собой площадь, ограниченную |
|||||||||
кривой f(x), осью x и прямыми x = a и x = b. |
|
|
|
|
|
|
|
||
y |
|
|
|
|
y=f(x) |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
0 |
a=x0 |
x1 |
|
|
|
|
xn=b |
|
|
|
|
Рис. 8.1. |
|
|
|
|
|||
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель |
Вычисление интеграла производится разбиением отрезка [a, b] на множество меньших отрезков [xi−1, xi] и суммированием площадей каждой из получившихся полосок (рис. 8.1).
Формулы численного определения однократного интеграла называются квадратурными формула-
ми, двойного и более кратного — кубатурными.
n
Приближенным значением интеграла будем считать выражение In = P li(f), где li(f) — прибли-
i=1
женное значение интеграла на участке [xi−1, xi]. При этом формула для вычисления li(f) называется
простейшей квадратурной формулой, а формула для вычисления In — составной квадратурной формулой.
Обычный и естественный прием построения квадратурных формул состоит в замене подынтегральной функции f(x) на отрезке [a, b] интерполирующей функцией g(x) сравнительно простого вида (например, полиномом).
Пусть R — некоторый класс функций f(x), определенных на отрезке [a, b], а p(x) — некоторая фикси-
b
R
рованная неотрицательная на [a, b] функция, для которой p(x)dx > 0. Предполагается, что для любой
a
b
R
функции f(x) R существует p(x) |f(x)| dx. Функцию p(x) называют весовой функцией.
a
Итак, если рассмотреть интеграл в виде
b
Z
I = p(x)f(x)dx,
a
то в случае замены подынтегральной функции интерполирующей функцией g(x) сам интеграл I запишется в виде:
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
b |
b |
ZZ
I = |
p(x)f(x)dx = |
p(x)g(x)dx + Rn(f). |
||
|
a |
|
a |
|
Величину Rn(f) = |I − In| = |
ab p(x)f(x)dx − ab p(x)g(x)dx |
называют остаточным членом квадра- |
||
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
турной формулы. |
R |
|
|
Квадратурные формулы Ньютона-Котеса
Рассмотрим формулы для приближенного вычисления интегралов
b
Z
I = p(x)f(x)dx.
a
Ограничимся случаем, когда p(x) ≡ 1. Этот метод основан на замене подынтегральной функции интерполяционным многочленом Лагранжа с узлами, разбивающими отрезок [a, b] на равные части. Такие формулы называются формулами Ньютона-Котеса.
Итак, пусть задана равномерная сетка {a = x0 < x1 < . . . < xn = b}, xi = x0 + ih, i = 0, n. Т.е. шаг
h = b − a — есть величина постоянная и разбивает отрезок [a, b] на n равных интервалов. Формулы n
Ньютона-Котеса — формулы замкнутого типа, т.к. концы промежутка интегрирования являются узлами интерполирования.
Обозначим yi = f(xi). В качестве приближенной функции g(x) рассмотрим интерполяционный полином Лагранжа:
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
Xi |
|
|
|
|
|
|
g(x) = Ln(x) = yi(x)ϕi(x) = y0(x)ϕ0(x) + y1(x)ϕ1 |
(x) + . . . + yn(x)ϕn(x). |
|||||||
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
Многочлен ϕi(x) представляет собой функцию |
|
|
|
|
|
|||
|
ϕi(x) = |
(x − x0)(x − x1) . . . (x − xi−1)(x − xi+1) . . . (x − xn) |
. |
|||||
|
|
(xi − x0)(xi − x1) . . . (xi − xi−1)(xi − xi+1) . . . (xi − xn) |
||||||
|
|
|
1, xj |
= xi, |
|
|
|
|
|
|
ϕi(xj) = |
0, , xj 6= xi, |
i, j = |
0, n. |
|||
Следовательно, исходный интеграл может быть представлен в виде |
||||||||
b |
b |
|
b |
|
|
|
n |
|
I = Z f(x)dx = Z |
|
|
|
|
|
|||
Ln(x)dx + Rn(f) = Z ϕi(x)f(xi)dx + Rn(f) = i=0 Cif(xi) + Rn(f), |
||||||||
a |
a |
|
a |
|
|
|
X |
|
где коэффициенты |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ci = Z |
b |
|
|
|
|
|
|
|
ϕi(x)dx |
|
(8.1) |
a
называются весами. Если веса Ci вычисляются по формуле (8.1), то соответствующую им квадратурную формулу называют квадратурной формулой интерполяционного типа.
Обозначим x − x0 = q — выраженная в сеточных шагах длина x − x0. Тогда h
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
|
|
|
|
|
− |
0 |
|
|
|
|
− |
1 |
|
|
− |
|
i−1 |
|
|
|
|
− |
|
|
i+1 |
|
|
|
|
|
− |
n |
|
|
|
h |
|
− |
|
h |
|
|
|||||||||||||
|
|
(x |
|
|
x |
|
)(x |
|
x |
) . . . |
(x |
|
x |
|
|
|
)(x |
|
|
|
x |
|
) . |
. |
. (x |
|
|
x |
|
) = hn+1 |
|
x − x0 |
|
x |
|
|
(x0 |
+ h) |
. . . |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. . . |
|
|
− |
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
= hn+1q(q − 1) . . |
. (q − n); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
(x0 |
+ nh) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
i |
− |
|
0 |
|
|
|
|
i − |
1 |
|
|
i − |
|
i−1 |
|
|
|
|
i − |
|
|
i+1 |
|
|
|
|
i |
− |
|
n |
|
|
h |
|
|
|
− |
h |
|
|
|
|||||||||||
|
(x |
|
|
x |
)(x |
|
|
x |
) . . . |
(x |
|
|
x |
|
|
|
)(x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
) . |
. |
. (x |
|
x |
) = hn |
|
xi − x0 |
|
xi |
|
|
(x0 + h) |
. . . |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
. . . |
|
|
|
−h |
− |
|
|
|
−h |
|
. . . |
|
|
i − |
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
= hni(i − 1) · . . 1 · (−. 1) · (−2) · . . . (−(n − i)) = |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
xi |
|
|
xi |
|
|
1 |
|
|
|
xi |
xi+1 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
(x0 |
+ nh) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=(−1)n−i · hn · i! · (n − i)!
Втаком случае формулу (8.1) можно записать в виде
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
C |
= ϕ |
(x)dx = |
(−1)n−i |
|
hn+1 |
|
Za |
q(q − 1) . . . (q − n) |
dx = |
|||||
i! (n − i)! · hn+1 |
|
|
||||||||||||
i |
Za |
i |
|
|
q − i |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
||||
|
|
|
|
= |
(−1)n−i |
h |
· Z0 |
|
q(q − 1) . . . (q − n) |
dq. |
||||
|
|
|
|
i!(n − i)! · |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
q − i |
|
|
h |
= |
|
|
x − x0 |
= q |
|
|
dx = dq |
||||
|
|
|
|
|
|
h |
|
||
|
|
|
|
|
(8.2)
Формула (8.2) окончательно определяет веса квадратурной формулы Ньютона-Котеса.
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
Заменим в (8.2) h = b −n a и введем обозначение Ci = (b − a)Ki. Тогда коэффициенты
(−1)n−i 1
Ki = i! (n − i)! · n ·
n |
( |
|
− q − i |
− |
|
dq |
(8.3) |
Z0 |
q |
|
|||||
|
q |
1) . . . (q |
|
n) |
|
|
называются коэффициентами Котеса. А сама квадратурная формула Ньютона-Котеса принимает вид
Z |
b |
n |
|
|
|
|
|
||
|
f(x)dx = (b − a) i=0 |
Kif(xi) + Rn(f). |
(8.4) |
|
a |
|
X |
|
Для коэффициентов Котеса имеют место соотношения:
n
1. P Ki = 1.
i=0
2. Ki = Kn−i.
Формула Симпсона
Квадратурная формула Симпсона является частным случаем квадратурных формул НьютонаКотеса при n = 2. Т.е. подынтегральная функция заменяется интерполяционным полиномом Лагранжа 2-ой степени (рис. 8.2). По этой причине формулу Симпсона еще называют формулой парабол.
Разобъем отрезок [a, b] на 2 равных отрезка. Т.е. мы получим сетку {a = x0, x1, x3 = b}, которая содержит три узла. Формула Симпсона содержит три коэффициента Котеса:
K0 = K2; K0 + K1 + K2 = 1.
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
|
|
|
|
|
(−1)2−0 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
(q3 |
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
q(q − 1)(q − 2)dq = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
||||||||||
K |
|
= |
1 |
· |
Z |
(q2 |
− |
3q + 2)dq = |
1 |
3q2 |
+ 2q) |
0 |
= |
||||||||||||
|
0 |
|
2 |
0! |
· |
(2 |
− |
0)! |
|
q |
|
4 Z |
|
|
|
4 |
3 |
− 2 |
|
|
6 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K0 = K2 = |
6; K1 |
= 1 − 6 = |
6. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
x2 |
f(x)dx = (x2 − x0) |
1 |
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
xZ0 |
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
6y0 |
+ 6y1 |
+ 6y2 |
+ Rсимп = |
3 (y0 + 4y1 + y2) + Rсимп. |
|
(8.5) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y=f(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L2(x) |
Rсимп |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a=x0 |
x1 |
|
xn=b |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 8.2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель |
Формула (8.5) является трехточечной квадратурной формулой Симпсона. Ее можно было получить |
|||||||||
другим способом. Вычислим значение подынтегральной функции в 3 равноудаленных точках: f(−h), |
|||||||||
f(0) и f(h). График интерполяционного полинома Лагранжа 2-й степени, проходящего через эти точ- |
|||||||||
ки — парабола (рис. 8.3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y=f(x) |
|
|
|
|
|
L2(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
– h |
|
0 |
|
|
h |
|
|
|
|
|
Рис. 8.3. |
|
|
|
|
|||
Запишем общий вид уравнения параболы: y = a + bx + cx2. Получаем интеграл: |
|
||||||||
|
h |
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
b |
c |
|
|
b |
c |
b |
c |
|
|
|
|
|
||||||
I = Z (a + bx + cx2)dx = (ax + 2x2 + |
3x3) |
|
h |
= ah + 2h2 + |
3h3 + ah − |
2h2 + |
3h3 = |
||
− |
h |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель |
= 2ah + 23ch3 = h3 (6a + 2ch2).
y1 |
= a + bx1 |
+ cx1 |
, |
y1 |
= a, |
|
|
y0 |
= a + bx0 |
+ cx02 |
, |
y0 |
= a |
− |
bh + ch2, |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
y2 = a + bx2 + cx22 |
, |
y2 = a + bh + ch2, |
|||||
|
|
|
|
2 |
= y0 − 2y1 + y2, |
||
|
|
|
|
2ch |
y1 = a,
ch2 = y0 − y1 + bh,ch2 = y2 − y1 − bh,
I = h3 (6a + 2ch2) = h3 (6y1 + y0 − 2y1 + y2) = h3 (y0 + 4y1 + y2).
Если [a, b] разбить на четное количество отрезков, равное n = 2m, и к каждому частичному сдвоенному промежутку [x0, x2], [x2, x4], . . . , [x2m−2, x2m] применить формулу Симпсона, то получим составную формулу Симпсона:
b |
|
m x2i |
|
h |
|
|
h |
|
|
||||
f(x)dx = |
|
f(x)dx = |
(y0 + 4y1 + y2) + |
(y2 + 4y3 + y4) + |
|||||||||
|
|
||||||||||||
Ra |
|
iPx2Ri−2 h |
3 |
|
3 |
|
|
||||||
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
. . . + |
|
(y2m−2 + 4y2m−1 + y2m) + Rсимп = |
(8.6) |
|||||||
= 3 |
|
3 |
+ Rсимп. |
||||||||||
f(a) + 2 i=1 |
f(x2i) + 4 i=0 |
f(x2i+1) + f(b) |
|||||||||||
h |
|
|
m−1 |
|
|
m−1 |
|
||||||
|
|
|
|
P |
|
|
P |
|
|
|
|
Квадратурный метод Симпсона — метод 4-го порядка точности (p = 4), т.е. дает точные результаты при интегрировании полиномов до 3-й степени включительно.
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель