kontrolnye / Обчислювальна математика / Лекции / r9
.pdf
|
Раздел ¹ 9. Задача Коши |
Содержание |
|
Методы решения |
4 |
Метод Пикара |
5 |
Методы Рунге-Кутта |
9 |
Неявные методы |
17 |
Предметный указатель |
24 |
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
Обыкновенными дифференциальными уравнениями называются уравнения, содержащие неизвестную функцию с одной независимой переменной. Если независимых переменных больше, чем одна, то уравнение называется дифференциальным уравнением с частными производными.
С помощью обыкновенных дифференциальных уравнений строятся модели движения систем взаимодействующих частиц, электротехнических процессов в электрических цепях, кинетики химических реакций, процессов заселения уровней энергии в высокотемпературных средах и многих других объектов и процессов.
К задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений сводятся некоторые задачи для уравнений в частных производных, когда многомерное уравнение позволяет провести разделение переменных (например, при вычислении энергетического спектра частиц в полях определенной симметрии).
Обыкновенное дифференциальное уравнение любого порядка при помощи замены переменных может быть сведено к системе уравнений первого порядка. Рассмотрим пример.
Дифференциальное уравнение третьего порядка
|
|
|
|
d3v |
|
|
d2v |
|
|
dv |
||||
a (x) |
|
|
+ b (x) |
|
|
+ c (x) |
|
|
+ d (x) v = f (x) |
|||||
dx3 |
dx2 |
dx |
||||||||||||
заменой переменных |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
d2v |
|
dv |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= v2, |
|
= v1, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
dx2 |
dx |
||||||
приводится к следующей системе дифференциальных уравнений |
||||||||||||||
|
dv |
= v1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
dv1 |
= v2, |
|
|
|
|
|
|||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a (x) dvdx2 = −b (x) v2 − c (x) v1 − d (x) v + f (x) .
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
В общем виде преобразование выглядит следующим образом: дифференциальное уравнение n-го порядка
v(n)(x) = ϕ x, v, v0, v00, . . . , v(n−1) ,
заменой переменных
v(k) ≡ vk
сводятся к системе n уравнений первого порядка
vk0 = vk+1, 0 6 k 6 n − 2,
vn0 −1(x) = ϕ (x, v0, v1, v2, . . . , vn−1) ,
где обозначено v0 ≡ v.
В соответствии с изложенным, далее будут рассматриваться системы уравнений первого порядка:
vk0 (x) = ϕk (x, v1, v2, . . . , vn) , 1 6 k 6 n.
Решение системы n-го порядка зависит от n параметров c1, c2, . . . , cn.
Единственное решение получается при использовании дополнительных условий для искомой функции. В зависимости от того, каким образом ставятся данные условия, различают три типа задач для обыкновенных дифференциальных уравнений: задача Коши, краевая задача и задача на собственные значения.
В задаче Коши все дополнительные условия ставятся в одной точке:
vk(x0) = vk,0, 1 6 k 6 n.
Решение ищется в некотором интервале x0 6 x 6 xl.
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
Если правые части ϕk уравнений непрерывны в некоторой окрестности начальной точки (x0, v1,0, v2,0, . . . , vn,0) и удовлетворяют условию Липшица по переменным vk, то решение задачи Коши существует, единственно и непрерывно зависит от координат начальной точки, т.е. задача является корректной. Условие Липшица формулируется следующим образом
|ϕk (x, v1,l, v2,l, . . . , vn,l) − ϕk (x, v1,m, v2,m, . . . , vn,m)| 6
6 L {|v1,l − v1,m| + |v2,l − v2,m| + . . . + |vn,l − vn,m| ,
для любых точек (x, v1,l, v2,l, . . . , vn,l) , (x, v1,m, v2,m, . . . , vn,m).
Методы решения
Можно выделить три метода решения обыкновенных дифференциальных уравнений: точные, приближенные и численные.
Точные методы предусматривают получение решения в виде комбинации элементарных функций или в виде квадратур от последних. Возможности точных методов ограничены.
Приближенные методы сводятся к построению последовательности
функций wn(x), имеющих пределом искомую функцию v(x). Обрывая эту последовательность на каком-то k, получают приближенное решение.
Наиболее универсальными методами решения являются численные. Их основной недостаток — возможность получения только частного решения.
Следует иметь в виду следующее обстоятельство. Успех от применения численного метода сильно зависит от обусловленности задачи, т.е. задача должна быть хорошо обусловлена, а именно, малые изменения начальных условий должны приводить к малому изменению решения. В противном случае (слабой устойчивости) малые погрешности в начальных данных или погрешности численного метода могут приводить к большим погрешностям в решении.
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
Рассмотрим пример. Решим уравнение
dxdv = λ · v
с начальным условием v(x0) = v0. Имеем v(x) = v0eλ(x−x0).
При v0 = 0 получается решение v(x) = 0. Если предположить, что v0 не равно строго нулю, а имеет небольшое отклонение от нуля, например, v0 = 10−6, тогда при больших x будет иметь место следующая ситуация. Если λ < 0, то v(x) при увеличении x стремится к нулю, т.е. к невозмущенному решению. В этом случае решение называется асимптотически устойчивым по Ляпунову.
Однако при λ > 0 с увеличением x v(x) неограничено возрастает, а именно, например, при x = 100, x0 = 0, λ = 1, v(100) = 10−6e1(100−0) = 2, 7 · 1037.
Таким образом, решение оказывается неустойчивым.
Далее будут рассматриваться алгоритмы решения задачи Коши на примере одного уравнения первого порядка v0(x) = ϕ(x, v). Обобщение на случай системы n уравнений осуществляется заменой v(x)
на v¯(x) и ϕ(x, v) на ϕ¯(x, v¯), где
v¯(x) = v1 |
v2 . . . vn , ϕ¯(x, v¯) = |
|
ϕ2 |
. |
|
|
|
ϕ1 |
|
|
|
|
ϕ· |
|
|
|
|||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Метод Пикара
Данный метод является представителем класса приближенных методов решения. Идея метода чрезвычайно проста и сводится к процедуре последовательных приближений для решения интегрального
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
уравнения, к которому приводится исходное дифференциальное уравнение. Пусть поставлена задача Коши
v0 (x) = ϕ (x, v(x)) , |
(9.1) |
x0 6 x 6 xl,
v (x0) = v0.
Проинтегрируем выписанное уравнение
x |
|
|
v (x) = v0 + Z |
ϕ(t, v(t))dt. |
(9.2) |
x0 |
|
|
Процедура последовательных приближений метода Пикара реализуется согласно следующей схеме
x |
|
|
ys (x) = v0 + xZ0 |
ϕ(t, ys−1(t))dt, |
(9.3) |
причем y0(t) = v0.
Пример Решить методом Пикара уравнение
v0(x) = x3 + v3,
v(0) = 0.
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
Решение этого уравнения не выражается через элементарные функции.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y1(x) = 0 + Z0 |
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
t3dt = |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2(x) = 0 + Z0 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
1 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
[t3 + ( |
t |
)3]dt = |
|
|
(1 + |
x9), |
|||||||||||||||||||||||
4 |
|
4 |
42 · 13 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
y3(x) = 0 + Z0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
{t3+[ |
t |
(1 + |
|
t9)]3}dt = |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
42 · 13 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
x4 |
x13 |
|
|
3 |
|
x9 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
x18 |
|
|
|
|
1 |
|
x27) |
||||
= |
|
+ |
|
(1 + |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|||||||||
|
3 |
2 |
· |
|
|
|
4 |
· 13 |
|
|
|
|
6 |
2 |
|
||||||||||||||||
4 |
|
4 · 13 |
4 |
22 |
4 |
|
· 31 |
|
|
|
|
4 |
· 13 |
· 40 |
и т.д.
Видно, что при x 6 1 ряд быстро сходится. Метод удобен, если интегралы можно взять аналитически.
Докажем сходимость метода Пикара. Пусть в некоторой ограниченной области g(x, v) правая часть ϕ(x, v) непрерывна и, кроме того, удовлетворяет условию Липшица по переменной v т.е.
|ϕ(x, v1) − ϕ(x, v2)| 6 L |v1 − v2| ,
где L — некоторая константа.
В силу ограниченности области g(x, v) имеют место неравенства
|x − x0| 6 l1, |v − v0| 6 V.
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
Вычтем из (9.3) формулу (9.2), получим для модулей правой и левой частей:
|
ys(x) |
|
v(x) |
|
= |
x |
ϕ(t, ys−1(t))dt |
x |
ϕ(t, v(t))dt |
, |
||
| |
|
− |
|
| |
|
Z |
|
|
|
− Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|ys(x) − v(x)| 6 xZ0 |
|ϕ(t, ys−1(t)) − ϕ(t, v(t))| dt. |
|
|||||||||
Окончательно, используя условие непрерывности Липшица, получим |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|zs(x)| 6 L Z |
|zs−1(t)| dt, |
|
(9.4) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
где zs(x) = ys(x) − v(x) — погрешность приближенного решения.
Последовательное применение формулы (9.4) при s = 1, 2, . . . дает следующую цепочку соотношений при учете того, что
|z0(x)| = |v0 − v(x)| 6 V, |
|
|
|||
|
|z1(x)| 6 LV |x − x0| , |
|
|
||
|z2 |
1 |
|
, |
||
(x)| 6 2L2 · V (x − x0)2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
|zs(x)| 6 s1!Ls · V |(x − x0)s| .
Т.к. |x − x0| 6 l1, то имеем
|zs(x)| 6 s1!Ls · V · l1s = s1!V · (L · l1)s.
Заменяя s! по формуле Стирлинга, окончательно получим оценку погрешности приближенного решения
|zs(x)| 6 |
√ |
V |
( |
el1L |
)s. |
(9.5) |
|
|
s |
|
|||||
2π s |
Из (9.4) следует, что при s → ∞ модуль погрешности |zs(x)| → 0, т.е. приближенное решение равномерно сходится к точному.
Методы Рунге-Кутта
Данные методы являются численными. На практике применяются методы Рунге-Кутта, обеспечивающие построение разностных схем (методов) различного порядка точности. Наиболее употребимы схемы (методы) второго и четвертого порядков. Их мы и рассмотрим ниже.
Предварительно введем некоторые понятия и определения. Сеткой на отрезке [a, b] называется фиксированное множество точек этого отрезка ωN . Функция, определенная в данных точках, называется сеточной функцией. Координаты точек xi удовлетворяют условиям
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
a = x0 < x1 < x2 < . . . < xN−2 < xN−1 < xN = b.
Точки xi ωN являются Узлы сетки. Равномерной сеткой на [a, b] называется множество точек
ω |
|
= |
x |
= a + ih |
, |
i = 0, 1, 2, . . . , N , где h = |
b − a |
− |
шаг сетки. |
|
h |
|
{ i |
} |
|
|
N |
|
При решении дифференциальных уравнений приближенным методом основным является вопрос о сходимости. Применительно к разностным методам традиционно более употребительно понятие сходимости при h → 0. Обозначим значения сеточной функции yi значения точного решения дифференциального уравнения (9.1) в узле i−v(xi) (yi являются приближенными значениями v(xi)). Сходимость при h → 0 означает следующее. Фиксируем точку x и строим совокупность сеток ωh таким образом, что h → 0 и xi = a + ih = x (при этом i → ∞). Тогда считают, что численный метод сходится в точке x, если |yi − v(xi)| → 0 при h → 0 , xi = x . Метод сходится на отрезке [a, b] , если он сходится в каждой точке x [a, b]. Говорят, что метод имеет p-й порядок точности, если можно найти такое число p > 0, что
|yi − v(xi)| = O(hp) при h → 0.
Введем далее понятие невязки или погрешности аппроксимации разностного уравнения, заменяющего заданное дифференциальное уравнение, на решении исходного уравнения, т.е. невязка ψi представляет собой результат подстановки точного решения уравнения (9.1) v(x) в разностное уравнение. Например, (9.1) можно заменить следующим простейшим разностным уравнением
yi+1 − yi |
− |
ϕ(x |
, y |
) = 0, |
i = 0, 1, 2, . . . , y |
|
= v |
. |
h |
i |
i |
|
|
0 |
0 |
|
Тогда невязка определится следующим выражением
ψi = −ui+1 − ui + ϕ(xi, yi). h
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель