Если задана функция y(x), то это означает, что любому допустимому значению x однозначно поставлено в соответствие значение y. Но нередко обнаруживается, что поиск этого значения очень трудоемок. Например, y(x) может быть определено как решение сложной задачи, в которой x выполняет роль параметра y(x) или измеряется в дорогом эксперименте. При этом можно вычислить небольшую таблицу значений функции, но прямой поиск значений функции при большом количестве значений аргумента будет практически невозможен. Функция y(x) может принимать участие в каких-то физикотехнических ли чисто математических расчетах, где ее приходится неоднократно вычислять. В этом случае выгодно заменить функцию y(x) приближенной формулой, то есть подобрать некоторую функцию ϕ(x), которая близка в некотором смысле к y(x) и просто вычисляется. Со временем при всех значениях аргумента считают y(x) ≈ ϕ(x).

Большая часть классического численного анализа базируется на приближении многочленами, поскольку с ними легко работать. Однако во многих случаях используются и другие классы функций.

Выбрав узловые точки и класс функций, которые приближают, мы должны еще выбрать одну определенную функцию из этого класса с помощью некоторого критерия — некоторой меры или приближения «согласование». Прежде чем начать вычисление, мы должны решить также, какую точность мы хотим иметь в ответе и какой критерий мы изберем для измерения этой точности.

Все изложенное можно сформулировать в виде четырех вопросов:

1.Какие узлы мы будем использовать?

2.Какой класс аппроксимирующих функций мы будем использовать?

3.Какой критерий согласования мы применим?

4.Какую точность мы хотим?

Существуют 3 класса или групп функций, которые широко применяются в численном анализе. Первая группа содержит в себе линейные комбинации функций 1, x, x2, . . . , xn, что совпадает с классом всех

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель

многочленов степени n (или меньше). Второй класс образовывают функции cos aix, sin aix. Этот класс имеет отношение к рядам Фурье и интегралу Фурье. Третья группа получается из функций e−az. Эти функции встречаются в реальных ситуациях. К ним, например, приводят задачи накопления и распада.

Что касается критерия согласования, то классическим критерием есть «точное совпадение в узловых точках». Этот критерий имеет преимущества простоты теории и выполнения вычислений, но также и неудобства через игнорирование шума (погрешности, которая возникает при измерении или вычислении значений в узловых точках). Другой относительно красивый критерий — это «наименьшие квадраты». Он означает, что сумма квадратов отклонений в узловых точках должна быть минимизированной. Этот критерий использует ошибочную информацию, чтобы получить некоторое сглаживание шума. Третий критерий связывается с именем Чебишева. Основная идея его состоит в том, чтобы уменьшить максимальное отклонение к минимуму. Очевидно, возможны и другие критерии.

Более конкретно ответить на поставленные 4 вопроса можно лишь исходя из условий и цели каждой отдельной задачи.

Постановка задачи интерполяции

На отрезке [a, b] задано N точек x1,x2, . . . , xN , которые называются узлами интерполяции, и значе-

ние некоторой функции y = f(x) в этих точках: f(x1) = y1; f(x2) = y2; . . . ; f(xN ) = yN . Нужно построить функцию F (x) (интерполирующую функцию) , которая бы совпадала с f(x) в узлах интерполяции и

приближала ее между ними, то есть такую,что F (x1) = y1; F (x2) = y2; . . . ; F (xN ) = yN . Геометрическая интерпретация задачи интерполяции состоит в том, что нужно найти такую кривую y = F (x) определенного типа, которая проходит через заданную систему точек Mi(xi, yi), (i = 1, 2, . . . , N). С помощью

этой кривой можно найти приближенное значение y = f(x ) ≈ F (x ), где x [xi, xi+1], i = 1, n − 1. Задача интерполяции становится однозначной, если вместо произвольной функции F (x) искать мно-

гочлен PN−1(x) степени не высшее N, что удовлетворяет условия

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель

PN−1(x1) = y1; PN−1(x2) = y2; . . . ; PN−1(xN ) = yN .

Интерполяционный многочлен PN−1(x) всегда однозначен, поскольку существует только один многочлен степени N −1, который в данных точках приобретает заданные значения. Существует несколько способов построения интерполяционного многочлена.

Интерполяционный многочлен Лагранжа

Один из подходов к решению задачи интерполяции — метод Лагранжа. Основная идея этого метода состоит в том, чтобы, прежде всего, найти многочлен, приобретающий значение 1 в одной узловой точке и 0 во всех других. Легко видеть, что функция

есть нужным многочленом степени n; он равняется 1, если x = xj и 0, если x = xi, 6= j. Многочлен Lj(x)yj принимает значение yi в i-й узловой точке и равняется 0 во всех других узлах. Из этого следует,

n+1

что y(x) = P Lj(x)yj есть многочлен степени n, проходящий через n + 1 точку (xi, yi).

j=1

Интерполяционный многочлен Лагранжа, который приобретает в узлах интерполяции x1, x2, . . . , xN соответственно значения y1, y2, . . . , yN имеет вид

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель

Конечные и разделенные разности и их свойства

Исчисление конечных разностей связано с изучением свойств и применений разностей между соседними членами какой-нибудь последовательности или между значениями функции в точках, расположенных с постоянным интервалом в некотором пространстве. Слово «конечные» используется здесь в несколько устаревшем смысле «не бесконечно малые», т.е. не связанные с предельными переходами. Поскольку дифференциальное исчисление занимается изучением пределов разностей, а исчисление конечных разностей — самими разностями, то естественно, что между этими двумя теориями существуют много параллелей. Исчисления конечных разностей используются при интерполяции в математических таблицах, при суммировании числовых рядов, при вычислении интегралов и дифференцировании функций. Разности встречаются также в любой ситуации, когда надо описать поведение объекта, который испытывает воздействие меняющихся условий на определенном расстоянии (во времени и в пространстве). Например, термостату требуется значительное время, чтобы отреагировать на изменение температуры, поэтому он реагирует не на текущую температуру, а на ту, что была минуту назад. Другой пример: автомашиной управляет водитель, которому требуется какое-то время, чтобы отреагировать на возникшую на дороге ситуацию.

Пусть функция y = f(x) задана на равноотстоящей сетке узлов в точках x = x0 + ih (h-постоянная,

Конечные разности различных порядков располагаются в форме таблицы двух видов: горизонтальной таблицы разностей или диагональной таблицы разностей.

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель

Возьмем некоторую функцию f(x) R и систему узлов интерполяции x0, x1, x2, . . . , xn, xi 6= xj, i, j = 1, n при u 6= j. Для этой функции и узлов образуем всевозможные отношения

Такие отношения называются разделенными разностями первого порядка. Получив разделенные разности первого порядка, мы можем образовать отношения

уже определили разделенные разности k-го порядка f(xi, xi+1, . . . , xi+k),то разделенные разности (k+1)- го порядка находятся с помощью формулы

f(xi, xi+1, . . . , xi+k) − f(xi−1, xi, . . . , xi+k−1) = f(xi−1, xi, . . . , xi+k).

xi+k − xi−1

Иногда вместо f(xi, xi+1, . . . , xi+k) для обозначения разделенных разностей используют обозначение [xi, xi+1, . . . , xi+k]. Договоримся располагать таблицы разделенных разностей таким образом:

Разделенные разности порядка n от многочлена n-й степени постоянны, а разности более высокого порядка равняются нулю. Последним замечанием можно воспользоваться для выявления ошибок в таблицах многочленов или функций, близких к ним.

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель