Раздел 2. Численное решение нелинейных уравнений
Содержание
Сжимающие отображения и решение нелинейных уравнений |
2 |
Отображения множеств |
2 |
Решение уравнений и неподвижные точки отображений |
4 |
Метрические пространства |
6 |
Теоремы о сжимающих отображениях |
8 |
Критерий существования неподвижных точек |
11 |
Решения нелинейных уравнений в комплексной плоскости |
12 |
Метод простых итераций |
15 |
Метод Ньютона |
22 |
Предметный указатель |
28 |
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
Сжимающие отображения и решение нелинейных уравнений
Втрадиционных курсах математики изучают разные способы решения уравнений, причем чаще всего рассматривается задача поиска точного решения рассмотренного уравнения. Однако в приложениях математики часто возникают такие уравнения, для которых, как правило, невозможно найти их точное решение.
Впоследнее время в математике наблюдаются серьезные изменения, связанные как с быстрым развитием вычислительной техники, так и с развитием вычислительных методов. Если вычислительная техника разрешает справляться с большим количеством сложных уравнений, то абстрактные методы позволяют для разнообразных классов уравнений (таких, как алгебраические, дифференциальные, интегродифференциальные и т.д.) найти общие подходы к их решениям.
Попробуем составить представление о некоторых результатах, связанных с вопросами существования и построения решений нелинейных уравнений. Вводятся некоторые математические понятия, с которыми знакомятся студенты-математики на первых курсах университетов.
Отображения множеств
Желание охватить как можно большее число уравнений приводит к необходимости рассматривать отображение (функции), с помощью которых записываются уравнения довольно общей природы, и встать на теоретико-множественную точку зрения. Для этого применим понятие отображения одного множества в другое, причем изначально подчеркнем, что это понятие будет считаться первичным, что не подлежит формально строгому определению (равно как и понятия числа, точки, множества и т.д.). Интуитивное содержание слова «отображение» отражает наличие соответствия между элементами двух множеств (при желании можно ограничиться только рассмотрением числовых множеств).
Пусть:
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
1)задана (непустое) множество X;
2)задано непустое множество Y ;
3)для каждого элемента множества X указан один вполне определенный элемент множества Y . В таком случае будем говорить об отображении множества X во множество Y .
Иными словами, понятие «отображения» содержит в себе нераздельное описание двух множеств X (область определения отображения), Y (область значения) и описание правила (способа, закона), по которому для каждого элемента x из множества X задается определенный элемент y из множества Y , в который элемент x отображается.
Закон (правило) соответствия, по которому для каждого элемента области определения отображения — множества X, задается ровно один элемент области значений Y , обозначим буквой f. Тогда отображение множества X во множество Y можно записать так (это обозначение принято в современной математике):
f : X → Y или |
f |
(2.1) |
X −→ Y |
Элемент y Y , в который при данном отображении (2.1) переходит элемент x X, называется образом элемента x (ли значением отображения на элементе x) и обозначается символом f(x). Зачастую, когда ясен выбор множеств X и Y , для рассмотренной функции используется обозначение f.
Выяснив содержание понятия «отображение», можно дать определение функции: функцией называется однозначное отображение одного множества чисел в другое множество чисел. Таким образом, функция — тот частный случай отображения, когда область определения и область значений суть числовые множества.
В школьной математике термин «функция» используют в несколько иных смыслах, которые не всегда четко разъясняются в учебниках и иногда приводят к недоразумениям.
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
Рассмотрим два примера функций.
Пример 1. Пусть X = [0, 1], Y = R = (−∞, ∞). Каждому числу из [0, 1] поставим в соответствие его квадрат.
Пример 2. Пусть X = R = (−∞, ∞), Y = R и каждому действительному числу поставим в соответствие его квадрат.
В обоих примерах над избранным числом x надо сделать одну и ту же операцию. Однако эти функции разные, так как в них не совпадают области определения. Следует иметь в виду, что сама по себе формула вида y = f(x) не определяет, строго говоря, функцию, так как не описано то множество значений x, над которыми надо делать указанные в формуле операции. С этой точки зрения типично школьная формулировка задачи: найти область определения функции
|
√ |
|
+ arcsin |
1 + x2 |
(2.2) |
|
y = |
sin x |
|||||
2x |
||||||
|
|
|
|
|
есть некорректной. Здесь можно было бы говорить лишь об области определения аналитического выражения в правой части равенства (2.2), то есть о совокупности x, для которых предусмотренные там операции могут быть осуществлены на множестве действительных чисел.
Решение уравнений и неподвижные точки отображений
Одна из простых теорем существования решения выглядит так.
Теорема 1 Пусть f : [a, b] ( R — непрерывная на отрезке [a, b] функция и f(a)f(b) < 0 (то есть на концах отрезков она принимает значения разных знаков), тогда уравнение
f(x) = 0 |
(2.3) |
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
имеет на отрезке [a, b] хотя бы одно решение.
Теоремы существования обычно формулируют как теоремы существования неподвижных точек отображений.
Пусть f : X → X — некоторое отображение множества X в себя. Элемент x0 из X называется неподвижной точкой отображения f если имеет место равенство f(x0) = x0.
Если f : [a, b] → R — функция, которая удовлетворяет условиям теоремы 1, то рассмотрим на отрезке [a, b] функцию F вида F (x) = λf(x) + x, где параметр λ выберем так, чтобы все значения функции F лежали на отрезке [a, b]. Например, можно положить λ = M/m, где
M = max f(x) = f(x2) и |
m = min f(x) = f(x1). |
x [a,b] |
x [a,b] |
Здесь x1 и x2 — точки из отрезка [a, b], в которых достигаются минимум и максимум функции f соответственно.
Непосредственно из вида функции F вытекает, что x0 — решение уравнения (2.3) тогда и только тогда, когда x0 — неподвижная точка для функции f. Таким образом, теорема 1 эквивалентна следующей теореме, которая формулируется в виде принципа неподвижной точки.
Теорема 2 Непрерывное отображение F отрезка в себя имеет недвижимую точку.
Аналогично задачу о разрешимости систем уравнений с несколькими неизвестными можно свести к вопросу существования неподвижной точки отображения многомерного куба (ли шара) на себя.
Кроме проблемы существования неподвижной точки возникает естественный вопрос о способах ее приближенного вычисления. В следующей теореме одновременно решаются обе проблемы.
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель