Раздел 3. Решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАР)
Содержание
Абсолютная величина и норма матрицы |
2 |
Предел матрицы |
5 |
Алгебраическая проблема собственных значений |
7 |
Устойчивость матрицы |
15 |
Системы линейных алгебраических уравнений |
16 |
Оценка погрешности и мера обусловленности |
18 |
Метод Гауcса |
21 |
Метод Краута |
26 |
Метод прогонки |
33 |
Метод простой итерации |
38 |
Метод Зейделя |
42 |
Предметный указатель |
44 |
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
Абсолютная величина и норма матрицы
Неравенство
A 6 B |
(3.1) |
между матрицами A = [aij] и B = [bij] одного типа означает, что
aij 6 bij. |
(3.2) |
В таком смысле не всякие две матрицы можно сравнить между собой.
Абсолютной величиной (модулем) матрицы A = [aij] будем считать матрицу |A| = [|aij|], где |aij| — модули элементов матрицы A.
Если A и B — матрицы, для которых операции A + B и AB имеют смысл, то: а) |A + B| 6 |A| + |B|;
б) |AB| 6 |A| · |B|;
в) |αA| = |α| |A|, (α — число).
В частности, получаем:|Ap| 6 |A|p, (p — натуральное число).
Под нормой матрицы A = [aij] понимаем действительное число kAk, удовлетворяющее условиям:
а) kAk > 0, причем kAk = 0 тогда и только тогда, когда A = 0;
б) kαAk = |α| kAk (α — число ) и, в частности, k−Ak = kAk;
в) kA + Bk 6 kAk + kBk;
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
г) kABk 6 kAk · kBk (A и B — матрицы, для которых соответствующие операции имеют смысл). В частности, для квадратной матрицы имеем: kApk 6 kAkp, где p — натуральное число.
Отметим еще одно важное неравенство между нормами матриц A и B одинакового типа. Применяя условие в), будем иметь:
kBk = kA + (B − A)k 6 kAk + kB − Ak .
Отсюда
kA − Bk = kB − Ak > kBk − kAk .
Аналогично
kA − Bk > kAk − kBk .
Итак,
kA − Bk > kAk − kBk .
Назовем норму канонической, если дополнительно выполняются условия:
д) если A = [aij], то |aij| 6 kAk, причем для скалярной матрицы A = [a11] имеем kAk = |a11|;
е) из неравенства |A| 6 |B| (A и B — матрицы) вытекает неравенство kAk 6 kBk. В частности, kAk = k|A|k.
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
В дальнейшем для матрицы A = [aij] произвольного типа мы будем рассматривать главным образом три нормы, которые легко вычисляются:
1)kAkm = max P|aij| (m — норма);
i j
2)kAkl = max P|aij| (l — норма);
i j
3) kAkk |
= r |
i,j |
ai,j |
2 |
(k - норма). |
|
|
P |
|
|
|
Пример. Пусть
A = |
4 |
5 |
6 |
. |
|
1 |
2 |
3 |
|
7 |
8 |
9 |
Имеем:
kAkm = max(1 + 2 + 3, 4 + 5 + 6, 7 + 8 + 9) = max(6, 15, 24) = 24;
kAkl = max(1 + 4 + 7, 2 + 5 + 8, 3 |
+ 6 + 9) = max(12, 15, 18) = 18; |
||||||
kAkk = √ |
|
|
|
|
= |
||
12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92 |
|||||||
√ |
|
|
√ |
|
|
||
= 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + |
49 + 64 + 81 = 285 ≈ 16, 9. |
||||||
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
Предел матрицы
Пусть имеем последовательность матриц |
|
|
|
|
Ak = [aij(k)] |
|
(k = 1, 2, . . .) |
(3.3) |
|
одного типа m × n (i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n). |
|
|
|
|
Пределом последовательности матриц Ak считается матрица |
|
|||
|
= k→∞ |
k |
hk→∞ ij i |
(3.4) |
A |
lim A |
|
= lim a(k) . |
|
Последовательность матриц, имеющая предел, называется сходящейся.
Лемма 1 Для сходимости последовательности матриц Ak (k = 1, 2, . . .) к матрице A необходимо и достаточно, чтобы
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kA − Akk → 0 при k → ∞, |
|
|
|
|
|
|
(3.5) |
||||||||||
где kAk любая коническая норма матрицы A. При этом klim kAkk = kAk. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
Доказательство. Действительно, если Ak → A = |
[aij], то |
aij − aij(k) < ε при k > N(ε). Отсюда |
|||||||||||||||||||||||||
|
Ak |
|
6 |
ε I , где I — единичная матрица размера m |
|
n. В силу |
свойств |
нормы имеем: |
A |
Ak |
|
6 |
||||||||||||||||
ε| |
I− |
при| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
|
|
k − |
|
|
k |
|||||
|
k >|N|(ε), а значит, lim |
k |
A |
− |
Ak |
k |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
k k |
|
|
|
|
k |
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
В другую сторону, пусть выполнено условие (3.5). Тогда при |
|
|
|
, имеем: |
|
|
(k) |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
k > N(ε) |
aij − aij |
|
6 |
|||||||||||||||||||||||
|
A |
|
Ak |
|
|
|
|
|
|
|
(k) |
= aij, то есть lim Ak = A. |
|
|||||||||||||||
k |
− |
k |
< ε и, следовательно, lim aij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
k→∞ |
|
|
|
|
k→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Кроме того, если A → Ak то имеем:
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
|kAk − kAkk| 6 kA − Akk → 0 при k → ∞.
Поэтому lim kAkk = kAk.
k→∞
Вывод. Последовательность Ak → 0, где k → ∞, тогда и только тогда, когда lim kAkk = 0, где kAkk
k→∞
какая-нибудь каноническая норма.
Легко убедиться, что если lim Ak = A и lim Bk = B, то:
k→∞ k→∞
1. lim (Ak ± Bk) = A ± B;
k→∞
2. lim (AkBk) = AB;
k→∞
3. lim A−k 1 = A−1(det A 6= 0),
k→∞
подразумевая, что соответствующие операции имеют смысл. В частности, если C — матрица — такая, что возможно умножение CAk и AkC, k = 1, 2, . . ., то
lim CAk = CA и |
lim AkC = CA. |
k→∞ |
k→∞ |
Лемма 2 Для сходимости последовательности матриц Ak (k = 1, 2, . . .) необходимо и достаточно, чтобы был выполнен обобщенный критерий Коши, а именно: для всякого ε > 0 должен существовать такой номер N = N(ε), что при k > N kAk+1 − Akk 6 ε, где kk — любая каноническая норма.
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель