Аппроксимация (от лат. approximo — приближаюсь) — замена одних математических объектов другими, каким-то образом близкими к исходным. Аппроксимация разрешает исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов (например, таких, характеристики которых легко вычисляются или свойства которых уже известны). В теории чисел изучаются диофантовы приближения, в частности приближения иррациональных чисел рациональными. В геометрии и топологии рассматриваются аппроксимации кривых, поверхностей, пространств и отображений. Некоторые разделы математики целиком посвящены аппроксимации, например приближение функций.

Понятия о приближении функций

Пусть величина y выступает в роли значения функции аргумента x. Это значит, что любому значению x из области определения поставлено в соответствие значение y. Вместе с тем на практике часто неизвестна явная связь между y и x, то есть невозможно записать эту связь в виде некоторой зависимости y = f(x). В некоторых случаях даже при известной зависимости y = f(x) она столь громоздка (например, содержит выражения, которые тяжело вычисляются, сложные интегралы и т.п.), что ее использовать в практических расчетах тяжело.

Наиболее распространенным и практически важным случаем, когда вид связи между параметрами x и y неизвестен, есть задача этой связи в виде некоторой таблицы {xi, yi}. Это означает, что дискретному множеству значений аргумента {xi} поставлено в соответствие множество значений функции {yi} (i = 0, 1, . . . , n). . . Эти значения — или результаты расчетов, или экспериментальные данные. На практике нам могут понадобиться значения величины y и в других точках вне узлов xi. Однако получить эти значения можно лишь путем очень сложных расчетов или проведением дорогих экспериментов.

Таким образом, с учетом экономии времени и средств, мы приходим к необходимости использования имеющихся табличных данных для приближенного вычисления неизвестного параметра y при лю-

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель

Аппроксимация функции приближением ряда Фурье и метод наименьших квадратов

Широкое распространение и доступность компьютеров привели к изменению идеологии гармонического анализа. Вместо изучения сходимости бесконечных рядов Фурье для функций с экзотическими особенностями основной проблемой стало получение красивого представления функций (в большинстве случаев без особых нерегулярностей) очастичной суммой ряда длины N . Слова «красивое представление» означают, что число гармоник N не очень большое и что ошибка такой «конечномерной» аппроксимации при фиксированном N сделана как можно меньшей.

Напомним сначала условия, каким должна удовлетворять функция g(t) для разложения в бесконечный сходящийся ряд:

1)g(t) — определена в каждой точке интервала a 6 t 6 b;

2)g(t) — однозначна, конечна и кусочно-непрерывна;

3)g(t) обладает «ограниченной вариацией».

Одним из наиболее употребимых принципов приближения заданной функции g(t) с помощью разложения по системе функций {ϕi(t)}, есть так называемый метод наименьших квадратов (МНК). Опре-

N

делим ошибку аппроксимации g(t) суммой N первых членов такого разложения. g(t) = P ciϕi(t). Со-

i=1

ответственно принципу МНК, задача состоит в подборе таких коэффициентов ci, i = 1, . . . , N, чтобы

«средняя ошибка» δ2(ci) была наименьшей из возможных.

δ(t, N) = g(t) − (c1φ1(t) + . . . + cN φN (t)), t [a, b].

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель