Выбор эмпирических формул

эмпирической зависимости, в частности, не проходит через заданные точки (xi, yi). Это приводит к тому, что экспериментальные данные до некоторой степени сглаживаются, а интерполяционная формула повторила бы все ошибки, которые есть в исходных данных.

Построение эмпирической формулы состоит из двух этапов:

1)подбор общего вида формулы;

2)определение оптимальных значений параметров, которые содержатся в формуле.

Иногда общий вид формулы известен из физических или других соображений. В других случаях вид может быть произвольным, преимущество предоставляется более простым формулам, которые могут выбираться из геометрических соображений, после нанесения экспериментальных точек на координатную плоскость и сравнения полученной кривой с графиками известных функций.

По результатам n экспериментов необходимо получить зависимость y = ϕ(x) , которая может показать,как в среднем y зависит от x.Такое уравнение называют уравнением регрессии.

Нужно подобрать такую аналитическую зависимость y = ϕ(x) , которая наилучшим образом, в условиях какого-либо заданного критерия, описывала бы полученные результаты. Одним из наиболее употребимых критериев можно считать метод наименьших квадратов (МНК). Руководствуясь им, подбирается такое уравнение y = ϕ(x) , при котором сумма квадратов отклонений экспериментальных значений от расчетных, полученных после подстановки x = xi в это уравнение, приобретала бы минимальное значение. То есть:

n

X

Φ = (yi − φ(xi))2 → min.

i=1

Возведение в квадрат разрешает избавиться от влияния знака отклонения yi от ϕ(xi).

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель

Естественно,что применение метода наименьших квадратов требует задание вида зависимости y = ϕ(x) . Ее можно задать или исходя из теоритических предпосылок, или анализируя характер поля экспериментальных точек.

Подбор параметров для избранного типа эмпирической формулы. Среднеквадратические приближения

Пусть избрана эмпирическая формула типа y = ϕ(x, a0, . . . , am), где a0, a1, . . . , am — неизвестные параметры. Однозначной задача определения параметров a0, a1, . . . , am станет, если рассматривать как показатель качества аппроксимации величину

nn

XX

и искать aj, минимизирующие функцию Φ = Φ(a0, . . . , am).

Решение задачи об определении a0, a1, . . . , am в такой постановке называется методом наименьших квадратов.

В теории вероятностей показано, что полученные методом наименьших квадратов параметры наиболее вероятны, если отклонения εi подчиняются нормальному закону распределения.

При заданном виде уравнения регрессии необходимо подобрать такие значения неизвестных коэффициентов, которые обеспечили бы минимум суммы (5.1). Обычно рассматриваются лишь такие y = ϕ(x, a0, a1, a2, . . . am), которые дифференцируемы по всем коэффициентам. При этом условии нахождение набора значений коэффициентов ,который минимизирует Φ, сводится к известной задаче математического анализа — поиску минимума функции нескольких переменных. Необходимым условием

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель

При m = n полученный многочлен совпадает с интерполяционным многочленом Лагранжа. Пример Простейшая эмпирическая формула y = ax + b.

О пригодности этой формулы можно судить по величинам ai = yi+1 − yi . Если ai ≈ const, то фор-

мула подходит.

xi+1 − xi

Неизвестные коэффициенты a, b найдем из необходимого условия экстремума функции

n

X

Φ(a, b) = (yi − axi − b)2.

i=1

Врезультате получим систему линейных уравнений

n

Решая систему (5.4) ,находим a и b, что при заданном виде уравнения регрессии обеспечивают минимум Φ(1).

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель

Описание результатов наблюдений методом наименьших квадратов усложняется, если неизвестные коэффициенты в уравнение регрессии входят нелинейно. Однако во многих случаях задачу удается упростить, применяя некоторые простые преобразования исходного уравнения регрессии.

Пример В ряде случаев к линейной зависимости могут быть сведены экспериментальные данные, когда их графиком в декартовой системе координат не является прямая. Этого можно достичь путем введения новых переменных ξ = ϕ(x, y), eta = ψ(x, y), которые выбираются так, чтобы точки (ξi, ηi) лежали на прямой. Такое преобразование называется выравниванием данных. Например, уравнение регрессии имеет вид y = cekx. Прологарифмируем функцию lny = lnc + kx. Обозначим lny = z, lnc = a. В результате получаем линейное уравнение z = a + kx. Методом наименьших квадратов находим значение a и k

(см. пример выше),после чего определим так же c = ea.

Выбор вида регрессионной зависимости можно осуществить по таблице. Для этого по исходным данным вычисляют средние значения xср и yср.

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель

Величина yˆ определяется так:

1)если xcp совпадает с одним из исходных xi, i = 1, . . . , n, то yˆ = yi;

2)если xcp находится между xi и xi+1, i = 1, . . . , n, yˆ находим как ординату соответствующей точки на отрезке прямой, которая соединяет узлы (xi, yi) и (xi+1, yi+1), по формуле

yˆ = xcp − xi (yi+1 − yi) + yi. xi+1 − xi

Выбор уравнения регрессии осуществляется путем поиска минимального значения выражения

yср − yˆ

и соответствующей ему функции.

yˆ

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель