kontrolnye / Обчислювальна математика / Лекции / r1
.pdf
Раздел 1. Основные источники погрешностей
Содержание
Абсолютная и относительная погрешности |
5 |
Средние квадратичные ошибки |
7 |
Уменьшения погрешности |
8 |
Обусловленность вычислительной задачи |
9 |
Предметный указатель |
10 |
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
При решении прикладных задач очень важно иметь представления о точности полученных результатов. Погрешности, которые могут быть заложены в таких результатах, порождаются комплексом причин, которые наблюдаются очень часто.
Можно определить четыре источника погрешностей результатов численного метода:
•исходные данные;
•математическая модель;
•приближенный метод;
•округления при расчетах.
Так, при реализации на ЭВМ алгоритмов, которые включают большое количество операций умножения и деления, типичными являются погрешности округления. При выполнении операций умножения количество разрядов может вырасти настолько, что все они уже не могут быть размещены в элементах запоминающих устройств ЭВМ. Часть разрядов по правую сторону приходится отвергнуть, округлять числа. Сам по себе процесс округления числа не обязательно приводит к внесению в него какой-нибудь важной погрешности. Так, при вычислении с обычной точностью в современных ЭВМ можно удерживать, например, девять десятичных разрядов. Естественно, что простым отбрасыванием в ЭВМ десятого и следующих разрядов мы вносим в число лишь очень незначительные изменения. Сравним двенадцатиразрядное число 1000000,00297 и округленное девятиразрядное число 1000000,00. Внесенная в результате округления погрешность составляет величину 0,00297. Однако в процессе выполнения большого количества арифметических операций погрешности округления, последовательно накапливаясь, порождают новые. Такое накопление погрешностей округления может привести к очень важным ошибкам в окончательных результатах. Накапливаться в процессе вычислений могут не только погрешности округления, но и погрешности других типов.
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
Погрешности округления в особенности приходится учитывать при реализации неустойчивых вычислительных процессов, в которых незначительные погрешности исходных данных или результатах промежуточных вычислений могут привести к важным ошибкам в окончательном результате.
Рассмотрим простейший пример. Пусть необходимо вычислить величину c по формуле
c = a − b, |
(1.1) |
где a = 139, 27; b = 138, 97. Получим c = 0, 3.
Предположим, что величины a и b заданы с погрешностями a = 140, 62, b = 137, 62. Вычисляя величину c по формуле (1.1) с приближенными значениями, получим
c = 140, 62 − 137, 62 = 3, 0.
Таким образом, погрешности в вычислении исходных величин a и b, что не превышают 1% их точных значений, привели к десятикратному увеличению числа c.
Точные значения многих величин практически никогда не могут быть введены в процесс вычисле-
√
ний, например, иррациональных величин π, e, 2 и др. В этих случаях также неминуемы погрешности округления.
При применении приближенных методов решения задач, например, метода последовательных приближений, точные значения искомых величин могут быть получены только после выполнения бесконечного числа этапов вычислений, что практически невозможно. Приходится удовлетворяться определенным числом этапов и соответствующих приближенных результатов с так называемыми остаточными погрешностями.
При решении многих задач в качестве исходных принимаются значения величин, полученных из эксперимента. По многим причинам, в том числе ограниченной точности измерительной аппаратуры и влияния разных случайных факторов, экспериментальные данные всегда имеют погрешности того или
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
иного порядка. Так, точность измерения температуры, расстояния, объема, веса зависит от совершенства применяемых измерительных устройств; при неоднократном движении одного и того же автомобиля по одному и тому же участку пути, затраты горючего каждый раз будут изменяться под влиянием разных факторов, которые заранее тяжело учесть. Погрешности могут быть и в исходных данных, полученных теоретически. Естественно, что эти погрешности так или иначе влияют на результаты решения задачи, однако никакими способами их устранить нельзя. Поэтому погрешности такого типа часто называют неустранимыми.
В случае, когда решить задачу точно невозможно, приходится применять разные приближенные методы. Результаты решения раньше времени содержат погрешности, характер которых зависит от используемого приближенного метода (погрешности метода).
Следует отметить, что в большинстве случаев специалисту удается подобрать для решения задачи приближенный метод, который разрешает получить целиком удовлетворительные по степени точности результаты. Однако решаемая задача есть не той реальной задачей, с которой специалисту приходится иметь дело, а его упрощенной математической моделью. Так, при расчете авиационного двигателя или несущей конструкции промышленного сооружения невозможно ввести к рассмотрению их реальную чрезвычайно сложную форму, учесть наличие всех отверстий, деталей соединения и т.п. При определении оптимального состава персонала универмага, касс предыдущей продажи железнодорожных билетов приходится предполагать, что покупатели приходят через равные промежутки времени, время обслуживания каждого из них одинаковы и тому подобное.
Решение реальной задачи не совпадает с решением, полученным при рассмотрении его математической модели даже с применением точных методов решения; а погрешности, которые возникают при этом, можно назвать погрешностями математического моделирования.
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
Абсолютная и относительная погрешности
Абсолютная погрешность — это различие между соответствующим точным значением, рассмот-
ренной величины A и приближенным его значением a. Погрешность |
a выражается так |
a = A − a. |
(1.2) |
Часто знак погрешности неизвестен или не имеет значения. Тогда вводится абсолютная погреш-
ность приближенного числа |
|
= |A − a| . |
(1.3) |
Непосредственно по значению абсолютной погрешности довольно тяжело делать вывод о степени расхождения между точным значением A величины и ее приближенным значением. Так, погрешность 2 метра целиком допустима при определении расстояния между Киевом и Сумами и абсолютно недопустима при измерении размеров комнаты. Поэтому применяется еще одна характеристика приближенных величин — их относительная погрешность.
Относительной погрешностью δ приближенного значения величины, точное значение которой равняется A, называется отношения его абсолютной погрешности к модулю точного или приближенного значения, то есть
δ = |
|
; δ = |
|
. |
(1.4) |
|A| |
|a| |
||||
Например, пусть в результате измерения длины беговой дорожки получены значения a |
= 99, 1г. |
||||
Точное значение этой величины A = 100г. Абсолютная погрешность
= |100 − 99, 1| = 0, 9.
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
0, 9 δ = |100| = 0, 009.
Из формул (1.3)–(1.4) видно, что абсолютная погрешность имеет размерность оцениваемых этой погрешностью величин, относительная погрешность всегда безразмерная.
Величины A и δ могут быть вычислены точно лишь в тех случаях, когда известно не только приближенное числовое значение рассмотренной величины, но и ее точное значение. Последнее, однако, возможно далеко не во всех случаях. Кроме того, часто наблюдаются случаи, когда приходится анализировать погрешности некоторого множества приближенных величин, например, погрешности измерения размеров серии изготовленных деталей, вызванные несовершенством применяемых измерительных инструментов. Качество серии измерений для всех деталей может оцениваться наибольшей за модулем величиной абсолютной или относительной погрешности их размеров. Поэтому часто вводятся понятия предельных абсолютной и относительной погрешностей.
За предельную абсолютную погрешность приближенного числа может быть принято любое число, не меньше абсолютной погрешности этого числа:
> . |
(1.5) |
Аналогично за предельную относительную погрешность δ приближенного числа может быть
принятое всякое число, которое удовлетворяет условию |
|
δ > δ. |
(1.6) |
При анализе серии измерений за и δ принимаем наибольшие из полученных соответствующих значений и δ и тем самым определяем границы, внутри которых находятся соответствующие погрешности.
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
Средние квадратичные ошибки
Пусть предполагается проведения серии измерений некоторой величины X. В каждом из измерений будет получено то или другое ее значения, причем, в зависимости от точности прибора, в частности, эти значения будут находиться в некотором интервале, общее их число окончено. Обозначим эти значения x1, x2,. . . , xn, их вероятности p1, p2,. . . , pn. Поскольку заранее неизвестно, какое значение величины X будет получен в каждом измерении, эта величина есть случайной.
Математическое ожидание X выражается формулой
n |
|
M[X] = Xxipi. |
(1.7) |
i=1
О качестве измерений, то есть степени разброса ошибок измерения, можно судить за размерами дисперсии или среднего квадратичного отклонения случайной величины
n |
|
Xi |
(1.8) |
D[X] = σx2 = pi(xi − M[X])2. |
|
=1 |
|
Величина σx называется в теории погрешностей средней квадратичной погрешностью измерения. Если результаты измерения есть независимыми, то есть результат произвольного измерения не зависит от того, какие результаты получены в других измерениях, для них приемлемы теоремы Чебышева
иБернулли. В частности, имеют место следующие предположения.
1.Если случайная величина X приобретает только неотъемлемые значения, часть которых меньше некоторого положительного числа a, то
p[(X < a)] > 1 − |
M[X] |
(1.9) |
a |
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
(первое неравенство Чебышева).
2. Если a > 0, то
p [|X − M[X]| < a] > 1 − |
σx2 |
(1.10) |
a . |
Отметим, что формулой (1.8) пользуются для вычисления средних квадратичных погрешностей и в детерминированных процессах
n |
n |
XX
σx2 = (xi − A)2 = |
i2, |
(1.11) |
i=1 |
i=1 |
|
где A — точное значение числа X; a — i абсолютные погрешности.
Уменьшения погрешности
Чтобы уменьшить возможную погрешность результата при решении задачи, рекомендуется придерживаться таких правил для практической организации вычислений:
1.Если необходимо провести добавление-вычитание большого количества чисел, надо сначала работать с наименьшими числами. Например, если a d, то целесообразно организовать вычисление выражения (a + d)3 − d3 как a3 + 3a2d + 3ad2.
2.Надо избегать вычитания двух почти равных чисел. Формулы, которые содержат такое вычитание, часто можно превратить так, во избежание подобной операции.
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
3.Выражение вида a(b−c) можно записать в виде ab−ac, а выражение вида (b−c)/a можно рассматривать как b/a − c/a. Если числа в разности почти равные, надо выполнить вычитания к умножению или деление. При этом задача не будет осложнена дополнительными ошибками округления.
4.Необходимо свести к минимуму число арифметических операций.
5.Выбирать численный метод, устойчивый к погрешностям округления.
Обусловленность вычислительной задачи
Под обусловленностью вычислительной задачи понимают чувствительность ее решения к маленьким погрешностям входных данных. Пусть установленное неравенство Δ(y ) 6 ν Δ(x ), где Δ(x ) — абсолютная погрешность входных данных; а Δ(y ) — абсолютная погрешность решения. Тогда ν — называется абсолютным числом обусловленности задачи. Если же установленное неравенство δ(y ) 6 νδδ(x ) между относительными погрешностями данных и решения, то νδ называют относительным числом обусловленности задачи.
Как правило под числом обусловленности ν понимают относительное число обусловленности. Если ν 1 , то задачу называют плохо обусловленной.
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
Предметный указатель
обусловленность, 9
погрешность абсолютная, 5
абсолютная предельная, 6 абсолютная приближенного числа, 5 оносительная, 5 относительная предельная, 6 средняя квадратическая, 7
число обусловленности, 9
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель