Метод Зейделя
Итерационный процесс Зейделя отличается от метода простой итерации тем, что при решении систем вида X = CX + D вычисления следующего приближения значения xi при 1 < i < n использует вычисленные прежде приближения неизвестных x1, x2, . . . , xi−1 . . . . . .
В этом случае итерационный процесс метода Зейделя имеет вид:
n
|
x1k+1 = =2 c1j · xjk + d1, |
|
|
|
||||
|
k+1 |
jP |
|
k+1 |
n |
|
k |
|
|
= c21 x1 |
|
|
+ d2, |
||||
x2 |
+ c2j xj |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· |
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
j=3 |
|
(3.50) |
||
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .,
n−1
|
xnk+1 |
= |
=1 cnj · xjk+1 |
+ dn. |
|
|
jP |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример Решить систему
4x1 − x2 + x3 = 4, 2x1 + 6x2 − x3 = 7,
x1 + 2x2 − 3x3 = 0.
Расчет системы уравнений двумя методами
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
Метод простой итерации |
|
|
|
|
Метод Зейделя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
X1(0) = X2(0) = X3(0) = 0, |
|
|
= |
|
|
X1(0) = X2(0) = X3(0) = 0 |
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
X(1) |
1 |
|
|
|
|
|
|
X(0) |
+ X |
|
|
|
X |
|
= |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
2X |
|
|
|
|
+ X |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
(0) |
|
|
|
|
|
|
(0) |
|
|
1 |
(4 + 0 − 0) = 1; |
(1) |
= 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
X1 |
= |
|
|
|
4 + X2 − X3 |
|
= |
|
|
X1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
− |
|
1 |
|
|
5 |
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
21 |
|
= 6 |
7 − 2 1 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0) |
|
|
|
|
(1) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
(0) |
|
|||||||||||
= |
|
|
|
(7 − 2 · 0 + 0) = |
|
= 1.17; |
|
|
|
= |
|
|
|
|
(7 − 2 · 1 + 0) = |
|
= 0.83; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 |
6 |
|
|
|
6 |
6 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
X3 |
= 3 |
X1 |
+ 2X2 |
= 0 |
|
|
|
|
X31 |
|
= 3 |
X15 |
+ 2 82 |
|
|
|
= |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(1) |
1 |
|
|
|
|
|
|
(0) |
|
|
|
(0) |
|
|
|
. |
|
|
|
(1) |
1 |
|
|
|
(1) |
|
|
|
|
X(1) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
1 + 2 · |
|
|
|
= |
|
|
|
= 0.89. |
||||||||||||||||||||||||
11 |
|
= 4 |
7 |
|
|
2 −31 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
6 |
9 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
11 |
|
|
4 |
5 8 |
2 |
|
−71 |
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
X(2) |
1 |
|
|
4 + X(1) |
|
|
X(1) |
= |
|
|
|
X(2) |
= |
1 |
|
|
4 + X(1) |
|
|
|
|
X(1) |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
4 + |
|
|
− 0 = |
|
= 1.29; |
|
= |
|
|
|
4 + |
|
− |
|
|
|
= |
|
|
= 0.985; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
6 |
24 |
|
4 |
|
6 |
9 |
72 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
1 |
|
|
|
|
− |
(1) |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
71 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
|
|
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
X2 |
= |
6 |
|
|
7 2X1 |
+ X3 |
|
= |
|
|
X2 |
|
= |
6 |
|
|
7 − 2X1 |
|
+ X3 |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
(7 − 2 · 1 + 0) = |
|
= 0.83; |
|
|
|
= |
|
|
|
7 − 2 · |
|
|
+ |
|
= 0.985; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 |
6 |
|
|
|
6 |
|
72 |
9 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
3 |
|
7 |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
71 |
|
|
71 |
|
|
|
|
|
71 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
X(2) |
= |
1 |
|
|
X(1) |
+ 2X(1) |
|
= |
|
|
|
|
X(2) |
= |
1 |
|
|
X(2) |
+ 2X(2) |
|
= |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
= |
|
|
1 + 2 |
|
= |
|
= 1.11. |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
+ 2 |
|
|
= |
|
= 0.985. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
6 |
9 |
|
|
|
|
3 |
|
72 |
72 |
72 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
Предметный указатель
кратность алгебраическая, 7 геометрическая, 7
матрица абсолютная величина (модуль), 2
главные векторы, 10 норма, 2
правые собственные вектора, 7 собственные числа, 7 устойчивая, 15 характеристический многочлен, 7 элементарные, 11
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель