ym = ηm + ξmβm 1 − ξmαm
для определения решений.
Метод простой итерации
Сведем систему Ax = b к виду:
x = Cx + d. |
(3.41) |
Это можно сделать многими способами. Например, умножив слева обе части равенства 0 = −Ax + b на произвольную невырожденную матрицу H и прибавим вектор x к правой и левой части полученного равенства:
x = x − HAx + Hb = (E − HA)x + Hb
Отсюда находим:
C ≡ E − HA, d ≡ Hb. |
(3.42) |
Матрицу H нужно выбирать так, чтобы C имела определенные свойства, о которых будет сказано ниже (теорема 9).
Итерационный процесс (то есть процесс последовательных приближений) метода простой итерации описывается формулой:
x(k+1) = Cx(k) + d, k = 0, 1, . . . , |
(3.43) |
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
где x(0) — некоторое начальное приближение к решению (как правило x(0) = d). В координатной форме метод простой итерации записывается так:
x(1k+1) = c11x(1k)
x(2k+1) = c21x(1k)
+c12x(2k) + . . . + c1nx(nk) + d1,
+c22x(2k) + . . . + c2nx(nk) + d2,
. . .
x(nk+1) = cn1x(1k) + cn2x(2k) + . . . + cnnx(nk) + dn.
Таким образом i-тая компонента (k + 1)-го приближения к решению вычисляется по формуле
|
n |
|
|
Xj |
|
xi(k+1) = |
cijxj(k), u = 1, . . . , n. |
(3.44) |
|
=1 |
|
Имеет место следующая
Теорема 9 Для сходимости последовательных приближений {x(k)} метода простой итерации к точному решению системы (3.41) достаточно, чтобы || C || < 1.
Таким образом, если некоторая норма матрицы C меньше единицы, то итерационный процесс, основанный на формуле (3.43), гарантированно сходится к искомому решению при любом начальном приближении x(0).
Задача 1.1 Доказать, что если матрица A имеет свойство
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
|
n |
|
|
|
|
|aii| > |
i X6 |
|
|
|
|
|aij|, |
i = 1, . . . , n, |
|
|||
|
=1,i=j |
|
|
|
|
то к неравенству || C || < 1 для C из формулы (1.12) приводит матрица |
|
||||
|
a11−1 0 |
. . . |
0 |
|
|
H = |
0 a22−1 |
. . . |
0 |
|
|
|
. . . . . . |
. . . . . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ann−1 |
|
|
|
|
0 . . . |
|
|
||
Теорема 10 Пусть ||C|| < 1, тогда при использовании метода простой итерации справедлива следую- |
|||||
щая оценка: |
|
|
|
|
|
||x − x(k+1)|| 6 ||C||||x(k+1) − x(k)||/(1 − ||C||) |
(3.45) |
||||
Доказательство: Из равенств |
|
|
|
|
|
x = Cx + d, x(k+1) = Cx(k) + d |
|
||||
путем вычитания получим |
|
|
|
|
|
x − x(k+1) = C(x − x(k)). |
|
(3.46) |
|||
Перенесем x(k+1) вправо и отнимем вектор x(k) из левой и правой части полученного равенства:
x − x(k+1) = x(k+1) − x(k) + C(x − x(k)).
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
Теперь будем оценивать норму вектора x − x(k+1) пользуясь неравенством треугольника и определением согласованности норм:
||x − x(k) || 6 |
|| |
x(k+1) − x(k) || + ||C|| |
|| |
x − x(k) |
||. |
|||||
Отсюда получаем оценку: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||x − x(k) |
|| |
6 |
||x(k+1) − x(k) |
||/(1 − || |
C |
||). |
(3.47) |
|||
Кроме того, из (3.46) вытекает: || |
x − x(k+1) |
|| 6 |
|| |
C |
|| |
|| |
x − x(k)||. |
|||
Учитывая (3.47), окончательно получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
||x − x(k+1)|| |
6 |
||C|| |
||x(k+1) − x(k) |
||/(1 − || |
C ||). |
|
||||
Теорема доказана.
Эта теорема разрешает сформулировать следующее условие окончания итерационного процесса при достижении заданной точности ε:
||x(k+1) − x(k) || 6 (1 − || |
C |
||) ε/|| |
C ||. |
(3.48) |
Действительно, в этом случае из теоремы 10 вытекает: |
|
|
|
|
||x − x(k+1)|| |
6 |
ε. |
|
(3.49) |
При выполнении (3.48) решение системы Ax = b считают равным x(k+1) (с точностью ε). |
|
|||
Из формул (3.45), (3.48) также видно, что чем меньше норма ||C |
||, тем быстрее сходимость итера- |
|||
ций к решения.
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель