Критерий существования неподвижных точек
Рассмотрим обобщение теорем 1 и 2, связанных с вопросами существования неподвижных точек отображений. Формулировка соответствующих результатов использует следующие важные понятия.
Множество K из метрического пространства X, на котором введено расстояние ρ, называется компактным, если из любой последовательности {xn} элементов этого множества можно выделить сходящуюся подпоследовательность, предел которой также находится в K.
Множество B из линейного пространства X (то есть множество, на котором определены операции сложения и умножения на числа из R) называется выпуклым, если вместе с любыми двумя точками x1, x2 B множеству B принадлежат все точки ax1 + (1 − a)x2, a [0, 1] (множество таких точек называется отрезком, который соединяет точки x1, x2 B).
Теорема 5 Всякое непрерывное отображение f : K → K выпуклого компактного множества K из линейного пространства Rn имеет неподвижную точку.
Эта теорема доказана голландским математиком Л.Э.Я. Брауэром. Поскольку любой отрезок [a, b] из R есть выпуклое компактное множество, то теорема 2 вытекает из теоремы Брауэра.
Рассмотрим некоторые следствия теоремы Брауэра.
Теорема 6 Теорема Бореука-Улама для окружности. Пусть f : C → R — функция на окружности C. Тогда существует пара точек — антиподов x, x таких , что f(x) = f(x ).
Следствием этой теоремы есть тот факт, что на любом большом круге земного шара (например, на экваторе) обнаружится пара точек — антиподов, в которых температура воздуха одинакова.
Теорема 7 (о блинах). Если A и B — ограниченные фигуры на плоскости, то существует прямая, которая разделяет каждую из этих фигур на две равновеликие по площади части.
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
В этой теореме предполагается, что каждая фигура имеет площадь. Образно говоря, теорема утверждает, что два блина, которые лежат на тарелке, можно разрезать точно пополам одним взмахом ножа.
Теорема Брауэра имеет разнообразные обобщения, которые находят широкое применение в вопросах существования решений дифференциальных и интегральных уравнений, в математической экономике (теория экономического равновесия) и теории игр.
Решения нелинейных уравнений в комплексной плоскости
Пусть заданная функция f(x) действительной переменной. Нужно найти корни уравнения
f(x) = 0. |
(2.8) |
ли, что то же самое, нули функции f(x).
Уже на примере алгебраического многочлена известно, что нули f(x) могут быть как действительными, так и комплексными. Поэтому более точной есть постановка задачи в определении корней уравнения (2.8), расположенных в заданной области комплексной плоскости. Можно рассматривать задачу определения действительных корней, расположенных на заданном отрезке. Иногда, пренебрегая точностью формулировок, будем говорить, что нужно решить уравнение (2.8).
В общем случае задача определения корней уравнения (2.8) обычно решается в два этапа. На первом этапе изучается расположение корней (в общем случае на комплексной плоскости) и проводится их отделение, то есть выделяются области в комплексной плоскости, которые содержат только один корень. Кроме того, изучается вопрос о кратности корней. Тем самым находятся некоторые начальные приближения для корней уравнения (2.8). На втором этапе, используя заданное начальное приближение, строится итерационный процесс, который разрешает уточнить значение искомого корня.
Не существует каких-то общих регулярных приемов решения задачи о расположении корней произвольной функции f(x). Наиболее полно изучен вопрос о расположении корней алгебраических мно-
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
гочленов
f(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + amxm |
(2.9) |
Например известно, что если для многочлена (2.9) с действительными коэффициентами выполнены неравенства f(c) > 0, f0(c) > 0,. . . , f(m)(c) > 0, то положительные корни f(x) не превосходят числа c. Действительно, из формулы Тейлора
f(x) = f(c) + (x − c)f0(x) + (x − c)2 f00(c) + . . . + (x − c)m f(m)(c) + . . .
2! m!
получаем, что f(x) > 0 при x > c.
Численные методы решения нелинейных уравнений есть, как правило, итерационными методами, предполагающими задание довольно близких к искомому решению начальных данных.
Прежде чем переходить к изложению конкретных итерационных методов, отметим два простых приема отделения действительных корней уравнения (2.8). Предположим, что f(x) — определенная и непрерывная на [a, b] функция.
Первый прием состоит в том, что вычисляется таблица значений функции f(x) в заданных точках
xk [a, b], k = 0, 1, . . . , m. Если окажется, что при какому-то k числа f(xk), f(xk+1) имеют разные знаки, то это будет означать, что на интервале [xk, xk+1] уравнение (2.8) имеет по крайней мере один действи-
тельный корень (точнее, имеет нечетное число корней на [xk, xk+1]). Потом можно разбить интервал [xk, xk+1] на более мелкие интервалы и с помощью аналогичной процедуры уточнить расположение корня.
Более регулярным способом отделения действительных корней есть метод бисекции (деления пополам). Предположим, что на [a, b] расположен лишь один корень x уравнения (2.8). Тогда f(a) и f(b) имеют разные знаки. Пусть для определенности f(a) > 0, f(b) < 0. Положим x0 = 0, 5 · (a + b) и вычислим f(x0). Если f(x0) < 0, то искомый корень находится на интервале [a, x0], если же f(x0) > 0, то на
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
[x0, b]. Далее, из двух интервалов [a, x0] и [x0, b] выбираем тот, на концах которого функция f(x) имеет разные знаки, находим точку x1 — середину избранного интервала, вычисляем f(x1) и повторяем указанный процесс. В результате получаем последовательность интервалов, которые содержат искомый корень x причем длина каждого следующего интервала вдвое меньше предыдущей. Процесс заканчивается, когда длина вновь полученного интервала станет меньше заданного числа ε > 0, и за корень x приблизительно принимается середина этого интервала.
Заметим, что если на [a, b] содержится несколько корней, то указанный процесс сойдется к одному из корней, но заранее неизвестно, к какому именно. Можно использовать прием выделения корней: если корень x = x кратности m найден, то рассматривается функция g(x) = f(x)/(x − x )m и для нее повторяется процесс определения корня.
Ограничение корня функции при гарантии ее определения на неограниченном интервале, осуществляется по такому итерационному алгоритму.
1.Для начального приближения x0 найти f0 = f(x0), задать начальный интервал поиска D и его инкремент d > 1.
2.Вычислить a = x0 − D, b = x0 + D; fa = f(a), fb = f(b).
3.Увеличить интервал поиска: D = D · d. Если интервал превысил некоторую заданную границу -> выход с индикацией ошибки.
а) Если знаки fa и f0 разные, то считать корень ограниченным на [a, x0] -> выход.
б) Если знаки fb и f0 отличаются, то считать корень ограниченным на [x0, b] -> выход. в) Если f0 > 0 (случай меньше нуля делается аналогично) алгоритм продолжается:
4.Находится меньшее из fa и fb . Если оба одинаковы, то переходим к 4a (двусторонний поиск), если fb — делаем поиск вправо 4б, иначе — поиск влево 4в.
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель